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1、第九单元二重积分一、概念与性质1、定义：设二元函数z=f(x,y)在平面有界闭区域D上有定义，将D任意分成n个小区域第i个小区域的面积也记为在每个小区域上任取一点Pi(xi,yi),当小区域的最大直径时，存在，且极限值与区域D的分法和点Pi(xi,yi)的取法无关，则称这个极限值为f(x,y)在D上的二重积分，记为2、几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，D为底，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。3、物理意义：D为平面薄片，为点（x,y）处的密度时，为平面薄片的质量。4、二重积分存在定理：如果f(x,y
2、)在有界闭区域D上连续，则存在。5、基本性质：设f(x,y)在有界闭区域D上可积，则有：①②③在D上，若f(x,y)=1，且D的面积为，则有④如果可以用有限条曲线将D分成两个区域D1，D2，则15⑤若在D上有f(x,y)≤g(x,y),则有⑥（估值定理）若M,m分别是f(x,y)在D上的最大值和最小值，且σ为D的面积，则有mσ≤≤Mσ⑦（中值定理）设f(x,y)在有界闭区域D上连续，且σ为D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）使得二、直角坐标系下二重积分的计算1、基本思想：面积元素：dσ=dxdy
3、,将化为二次积分计算（累次积分法）。2、选择积分次序考虑两个因素：被积函数和积分区域。原则：要使两个单积分都能积出来，且计算要较另一种积分次序简便。关键问题：确定两个积分的积分限，借助于区域D的图形。当选择先对y积分时，可以作平行于y轴的直线与区域D相交，再沿y轴的正方向看，所作出的直线与区域D先相交的边界线y1(x)(入口线)作为积分的下限，离开区域D的边界线y2(x)(出口线)作为积分的上限；而后对x积分时，取区域D中x的最小值，即D在x轴上的投影最小值作为积分的下限，取区域D中x的最大值，即D
4、在x轴上的投影最大值作为积分的上限，即：先对y积分：入口线y1(x)，出口线y1(x)，且y1(x)≤y215(x)，再对x积分，投影最小值a,投影最大值b,且a≤x≤b,二积分的计算公式：。先对x积分：作平行于x轴的直线，其他分析方法类似前者。二积分的计算公式：3、几种常见类型①若D：a≤x≤b,c≤y≤d,（矩形域）则：特别当f(x,y)=f1(x)f2(y)时，有：（化成两个定积分之积）②若D：a≤x≤b,φ1（x）≤y≤φ2（x）,则：③若D：c≤y≤d,ψ1（y）≤x≤ψ2（y）,则：y=
5、φ1(x)y=φ2(x)④若区域D由曲线y=φ1（x）与y=φ2（x）所围成的封闭区域，且φ1（x）≤φ2（x）皆为单值函数，应先求解方程组若选定先对y积分，后对x积分，设方程组中解的最小值为x=a,最大值为x=b,则二重积分可化为：15⑤若区域D由曲线x=ψ1（y）与x=ψ2（y）所围成的封闭区域，且ψ1（y）≤ψ2（y）皆为单值函数，应先求解方程组x=ψ1(y)y=ψ2(y)若选定先对x积分，后对y积分，设方程组中解的最小值为y=c,最大值为y=d,则二重积分可化为：说明：④⑤两种不同次序的积分
6、的计算量往往不相同，正确选择积分次序，会减少计算工作量。注意事项：二重积分化为二次积分时，单积分的下限一定要小于上限；外层积分限一定为常量；内层积分限一般为外层积分变量的函数。3、交换积分次序对于给定积分次序，很难求出原函数或计算较复杂时，应考虑交换积分次序，一般步骤为：（1）先依给定的积分次序确定积分区域D的不等式表达式，并画出D的草图；（2）依D的图形确定交换次序后的积分限。4、二重积分的对称性设f(x,y)在有界闭区域D上为连续函数，D可分成D1与D2两个子区域，则：15（1）当D1与D2是关
7、于y轴为对称区域时，f(x,y)为x的偶函数0f(x,y)为x的奇函数（1）当D1与D2是关于x轴为对称区域时，f(x,y)为y的偶函数0f(x,y)为y的奇函数例1设D是由直线x=0,x=1,y=0,y=1围成的平面区域，则二重积分CA、4B、2C、1D、解：例2设D：0≤x≤1,0≤y≤2,则解：例3设区域D是由x轴，y轴及直线x+y=1围成的三角形区域，计算解：法一：先对y积分法二：先以x积分15例4计算二重积分，其中D为y=x与y=x2所围成的区域。解：由y=x与y=x2解得两交点坐标为（0
8、，0）与（1，1）原式或原式例5计算二重积分，其中D为曲线y=x2与x=y2所围成的区域。解：由y=x2与x=y2解得交点坐标为（0，0）与（1，1）原式例6计算二重积分，其中D为曲线y=1-x2与y=x2-1所围成的区域。解：由y=1-x2与y=x2-1解得交点坐标为（-1，0）与（1，0）原式例7计算二重积分，其中D为y=x-4与y2=2x所围成的区域。解：由y=x-4与y2=2x解得交点坐标为（2，-2）与（8，4）原式说明：若先对y积分，入口曲线不唯一，因此要
