奥数：初中奥数系列：7.5.1二次函数的图象及性质.题库学生版

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1、二次函数的图象及性质中考要求黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1．能根据实际情境了解二次函数的意义；2．会利用描点法画出二次函数的图像；1．能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2．能从函数图像上认识函数的性质；3．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4．会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1．能用二次函数解决简单的实际问题；2．能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；黑体小四知识点睛黑体小四一、二次函数的定义黑体小四一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变

2、量，、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．黑体小四二、二次函数的图象黑体小四1．二次函数图象与系数的关系（1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当

3、时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧．（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称

4、轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．3.点的坐标设法⑴一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.⑵二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．⑶点关于的对称点为．4.二次函数的图象信息⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性．⑵根据抛物线的对称轴判断的大小．⑶根据抛物线与轴的交点，判断的大小．⑷根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断的大小．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的性质：⑴抛物线

5、的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）．⑵函数的图像与的符号关系．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2．二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3．二次函数或（）的性质⑴开口方向：⑵对称轴：（或）⑶顶点坐

6、标：（或）⑷最值：时有最小值（或）（如图1）；时有最大值（或）（如图2）；⑸单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；②如图2所示，当时，对称轴左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）成立的值．例题精讲一、二次函数的概念【例1】判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么．⑴；⑵；⑶（是常数）；⑷；⑸；⑹（是常数，）；⑺（为常数）；⑻【例2】下列

7、函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴⑵⑶⑷⑸【例1】已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？【例2】已知函数⑴当，，是怎样的数时，它是一次函数？⑵当，，是怎样的数时，它是正比例函数？⑶当，，是怎样的数时，它是二次函数？【例3】函数．⑴当a取什么值时，它为二次函数．⑵当a取什么值时，它为一次函数．二、二次函数的图象及性质【例4】在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象．【例5】在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象．【例6】画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例

8、7】画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例8】画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例9】若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴；则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例10】已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（）第一、二、三象限第一、二、