奥数：第11讲 应用题第八讲

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1、第11讲应用题第八讲方程与方程组例1某幼儿园，大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，大班人数是小班的詈，小班比大班多发126张画片．那么小班有多少人?答案45人．分析根据小班比大班多发126张画片的等量关系来列出含有未知数的等式．详解设小班有z人，则大班有詈z人，小班分得13x张画片，大班分得(17×詈z)张画片．依题意，有：即评注列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，即列出方程，然后求解未知数的值．列方程解应用题的一般步骤是：①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②确

2、定等量关系，设未知数z；③依据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案．解这类应用题的关键在于能够恰当地设立未知数，根据等量关系建立方程．‘关于“检验”的一步，我们往往在草稿纸上完成．把解出的未知数的值代入原方程，比较等号两边的值是否相等．若相等，则说明该未知数的值是原方程的解；否则，必须重新解原方程．例2高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的；高、初中的毕业生离校后，高、初中留下的人数都是520人．那么高、初中毕业生共有多少人?答案1160人．分析1要想求出高、初中毕业生

3、共有的人数，可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多少．已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的，又知高、初中毕业生离校后都留下520人．如果设初中毕业生为x人，则原初中生有(z+520)人，高中毕业生为两x人，原高中生有(x+520)人，．根据高中学生人数是初中学生人数的詈找出等量关系．详解1设初中毕业生有x人，依题意，有高中毕业生共有高、初中毕业生共有分析2已知条件中高中学生、毕业生与初中学生、毕业生之间有一定的比例关系，不妨选取初中学生与毕业生分别r为两个未知数．依据毕业生离校后都剩下520人，可以

4、列出方程组．详解2设初中学生人数有x人，初中毕业生有Y人，则高中学生人数为x人，高中毕业生有y人．依题意，有消去x，有将Y=680代入(1)，则共有毕业生评注设不同的未知数，根据不同的等量关系可以列出不同的方程或方程组．选取适当的未知数，不但能使列的方程简单化，还能降低计算的难度．本题详解2中我们列出了二元一次方程组．该方程组的解法为加减消元法，即把其中一个方程乘以某数使得两个方程中同一个未知数的系数相同，再做加或减法运算消去该未知数，得到只关于另一个未知数方程，然后求解．二元(三元)一次方程组还可用代入

5、消元法，即从一个方程中解出其中的一个未知数(用数字与另一个未知数表示)，然后代入另外的方程中，求解方程．例如本题中，由(1)解得x=520+Y．代入(2)，得同样可解出，Y=680．例3130克含盐5％的盐水．与若干含盐9％的盐水混合，配成含盐6．4％的盐水，那么这种新浓度的盐水有多少克?答案200克．分析依据混合前两种盐水中所含的总盐量与新盐水中的纯盐量相等为等量关系．详解设这种新浓度的盐水有．27克，那么含盐9％的盐水有z-130克．依题意，有评注列方程前我们需知：以及例42个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫

6、的，8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫．现在需清扫整个龙宫，那么单让蟹将去干与单让虾兵去干进行比较，虾兵比蟹将要多用多少个?答案18个．分析本题我们按工程问题处理．打扫完全部龙宫为整个工程，工作量为“1”．详解设每个蟹将的工作效率为z，每个虾兵的工作效率为y，依题意，有将(1)式乘以4，然后减去(2)式，有故而扫完全部龙宫需用蟹将，或者需用1÷=30(个)虾兵．所以单让虾兵干比单让蟹将干要多用30-12=18(个)．评注通过选取恰当的未知数，把已知条件用方程来表达，寻求问题的答案也就变成了简单地求解方

7、程或方程组．未知数能直接参与运算，也是列方程解应用题最突出的优点．例5如图11—1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少?答案1：2．分析横式纸盒需用3张长方形纸板和2张正方形纸板，竖式纸盒却用了4张长方形纸板和1张正方形纸板．如果我们设所做两种纸盒各x、y个，根据所用的纸板数比值1：2可列出一个方程，进而可以求得z与

8、Y之间的关系．详解设小玲做了x个竖式纸盒，y个横式纸盒．依题意。有评注在许多应用题中，我们会设两个或多个未知数．有时无法求出每个未知数的值，但却可以找到彼此之间的关系或所成比例．例6一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘，从左盘移一个黑球到右盘上，则须再放50