级数运算中的几个小技巧.doc

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1、级数运算中的几个小技巧Pb07210229詹金春级数含有无穷多项，它的运算要讲究方法，否则运算量将会令我们望而却步。下面我举几个例子讲述一些小技巧。例1将函数f(x)=exsinx展开成x的幂级数。解：方法一因为ex=，,Sinx=xn，应用幂级数的乘法运算得exsinx==(计算过程相当复杂，数学公式输入有难度，这里从略)=）方法二由欧拉公式eix=cosx+isinx，有sinx=（eix-e-ix）/2i所以exsinx=ex（eix-e-ix）/2i=（e(i+1)x-e（1-i）x）/2i=1/2iｘｎ　　　＝）比较两种方法，注意到sinx=（eix

2、-e-ix）/2i　就可以明显减少计算量。例２　设ｆ（ｘ）＝.求fn（0）解由函数幂级数展开的唯一性，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。f’(x)=2x/(1+x4)=2x=两边从0到x积分得==所以f(x)=f(0)+=+因此f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2,其他的f(n)(0)=0本题若直接求，明显会比上述方法难算。例3设f(x)=x4/(1+x3),求f(10)(0).解：因为1/(1+x)=,-1

3、=0,1,2,n=2时，f(10)(0)=10！总结上面三题用到的小技巧如下：1．注意到sinx=（eix-e-ix）/2i，可将sinx用ex形式展开。2．由函数幂级数展开的唯一性，且级数为多项式时，各阶导数容易求，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。3．将x4单独提出来，不参与级数展开，利用基本函数的泰勒展开。这些只是众多小技巧中的一小部分，我们应该做学习上的有心人，不断积累这些小技巧，就可以教简洁地解决许多题目。