奥数：第08讲 数字谜问题第12讲

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1、第08讲数字谜问题第12讲数字谜综合之三例1在图8—1所示的算式中，每个字母代表一个数字．不同的字母代表不同的数字，如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少?答案17208．分析观察算式的特点，可以发现一些“地位特殊”的字母：C是和的首位；千位上H与K相加仍为H；十位上两个N相加仍为N．这些都是可以迅速突破的点．另外O和G各出现了两次．关于整除的条件提示我们，当考虑最后三位数时要用到被8整除的性质，而当只有一个字母未知时可以通过数字和被3整除来将它确定．详解因为两个加数都是四位数，

2、所以C只能是1．百位两个O相加进位．否则千位上应有H+K=10+H，这不可能．进位后变为H+K+1=10+H，得K=9．再看十位．如果个位有进位，则有N+N+1=10+N，得N=9．但已经有K=9，与已知条件相矛盾．因此个位肯定没有进位，这时N只能是0．因为I是两个O相加的和的个位数字，所以I是偶数．由已知，CHINA能被8整除，那么它的后三位INA能被8整除．而其中的I×100也能被8整除(I是偶数)，于是A也就能被8整除．又N已经是0，故A不能为0．所以A只能是8，相应地G只能是4．由前面的结论，百

3、位上是有进位的，因此O≥5．而这时只有2、3、5、6、7还可以选取，要使0≥5且2×O的个位数字仍在上述五个数字中，只有O=6，I=2．因CHINA能被3整除，则C+H+，+N+A=11+H应能被3整除．又H只有3、5、7这三个可能，因此H=7．这样，CHINA代表的五位数是17208．评注这是一道典型的数字谜综合题，但从解法来看，所运用到的仍然是前面两讲(即五年级07讲和19讲)所提到的解题思路和突破技巧．它的难点主要在于如何从错综的条件、思路中把握好每一步的方向，保持清晰的脉络和严谨的层次结构．例2

4、在算式的每个方框内各填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立．答案分析算式中已知的数字太少，并且难以利用，那我们就来看未知的数中有哪些联系．在分数的加减运算中，首先要做的就是“通分母”，因此最终结果的分母应是所计算的各分数分母最小公倍数的约数，这体现出了条件等式中三个分母之间直接的关系．详解记等式为其中A、B、C、D、E、F六个数字都是质数．由得．可见两位数EF是A×C的约数，而A和C都是质数，所以只能有EF=A×C．．在一位数质数2、3、5、7中，只有5×7=35和5×5=25的各位数字都

5、是质数。因此EF为35或25．但A和C都为5时，的分母也是5，不可能等于，所以EF必须是35，A和c中一个是5、一个是7．代入前面的等式得B×C—A×D=1．如果C=7、A=5，即7×B一5×D=1，由于5×D+1的个位数字只会是1或6，因此B只能取3，但这时D=4不是质数．那么这种情况下没有满足条件的解．故有C=5、A=7，即5×B-7×D=1．经验证，只有B：3、D=2使这个等式成立，所以原算式就是：评注本题的等式形式和限制条件都比较特殊．当出现这种情况时，应先找到等式中有哪些数之间有直接的联系，再

6、结合限制条件对这些数的取值进行判断．如本例中的第一步就是通过三个分母之间的联系来确定出它们．例3在上面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立．问在方框中应填多少?答案32或36．分析从条件上看，本题没有太好的突破口．但是不难体会，填入的两个自然数不可能都很大，就是说其中至少有一个比较小，否则两个分数的和达不到是．这就提供了讨论的可能．详解记圆圈里填入的是A，方框里填入的是B，那么不难验证，当A=2,3、4、5时，相应的B都不是自然数，也就不是所求的答案．当A≥6时，得B≤38．又因为显然2百9

7、<瓦11，得B32．由原条件，可得等式将B=32、33……38依次代入上式，只有B=32和36时得到的A才是整数，即因此，方框中填的数是32或36．评注本题更应该算是一道不定方程的题目，所以解法有些与众不同．有兴趣的读者可以试用解不定方程的方法来解本题．例4在上面四个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使所得到的四个算式的答数之和尽可能大．那么这个和等于多少?答案分析为了使四个答数之和尽可能大，应让乘法和加法算式中的第二个数尽量大，而除法和减法算式中的第二个数尽量小．详解由于四个算式中第一

8、个数都是6，且0.3<0.3<1，>>1，因此第一个和第三个算式的方框内填上减号或除号，第二个和第四个算式的方框内填上加号或乘号．因为所以第一个方框内应填除号，第三个方框内应填减号．同时所以第二个方框内应填乘号，第四个方框内应填加号，且最终的和为25+29=54．评注把运算符号填到不同的算式中，考察运算结果的这类题型在近几年有增多的趋势，主要的方式就是考察已给各数间的大小关系．例5把1．2、3．7、6．5、2．9、4．6分别填在图8—2的五