奥数：7.3.1一次函数的图象及性质（1）.讲义学生版

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1、一次函数的图象及性质（1）中考要求内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题知识点睛一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当，时，仍是一次函数．⑶当，时

2、，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．三、一次函数

3、的性质一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小1．一次函数图象的位置在一次函数中：⑴当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．⑵当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性在一次函数中：⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．四、含绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组

4、成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．我们知道，函数，当时，取最小值．函数，若，则；若，则；当时，取最小值．在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：设，当为何值时，函数取最小值？下面我们给出这类问题的一般性结论．对于函数，当时，取得最小值．同理，当时，函数取得最小值；当时，取得最小值；……于是我们得到：⑴若为奇数，当时，取最小值，此时，都取得最小值，则取得最小值．⑵若为偶数，当时，取得最小值，此时，　都取得最小值，故取得最小值．

5、这一点从图象上也不难看出．当或时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各段在区间上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．例题精讲一、一次函数的概念【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴⑵⑶⑷⑸⑹【例2】已知，若y是x的正比例函数，则的值是．【巩固】已知函数（为常数）是正比例函数，则．【例1】已知y+m与x+n（m,n为常数）成比例，试判断y与x成什么函数关系？【巩固】已知与x成正比例，当时，,求与x之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【巩固】已知是的正比例函数，是的一次函

6、数．求证：是的一次函数．【例2】函数已知，当m为何值时，y是x的一次函数？【巩固】已知是一次函数，求它的解析式．三、一次函数的图象及性质【例3】在坐标系中画出下列函数的图象．⑴；；；⑵；；【巩固】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是．【例1】一次函数的图像是；当，时，直线过象限；当，时，直线过象限；当，时，直线过象限；当，时，直线过象限．的图像与轴、轴的交点分别为、；其中、分别叫做该一次函数在轴、轴上的截距．【例2】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是．【巩固】如图，一次函数的图象大致是

7、（）ABCD【例1】下列图形中，表示一次函数与正比例函数（、为常数且）的图像是下图中的（）ABCD【巩固】函数①和②（）在同一坐标系中的图像可能是（）【例1】一次函数的图象能否不经过第三象限?为什么?【巩固】若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是．【巩固】若一次函数的图像不过第一象限，则的取值范围是___________．【例2】如果直线经过第一、二、三象限，那么　　　　　（填“”、“”、“”）．【例1】已知一次函数中，，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有个，即第象限．【例2】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那

8、么（   ）A．       B．C．       D．【例3】若一次函数的图象经过第一、第二、三象限，求的值．【巩固】已知一次函数（为常数）的图象经过一、二、三象