2018版高中数学(人教a版)必修5同步教师用书:必修5 第2章 2.2 第1课时 等差数列的概念与简单表示

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1、2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与简单表示1.理解等差数列的概念.(难点)2.掌握等差数列的通项公式及应用.(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法.(重点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的含义阅读教材P36~P37思考上面倒数第二自然段,完成下列问题.1.等差数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).2.等差中项(1)条件:如果a,A,b成等差数列.

2、(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a+b=2A.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )(2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4,则它一定是等差数列.(  )(3)当公差d=0时,数列不是等差数列.(  )(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.(  )(5)方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为-3.(  )【解析】 (1)×.因为若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数

3、不全相等,则这个数列就不是等差数列.(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列,往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义,所以该数列为等差数列,事实上它是一类特殊的数列——常数列.(4)√.因a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.(5)√.设方程x2+6x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项为A==-3.故该说法正确.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37思考

4、上面倒数第2行~P38,完成下列问题.1.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d.2.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).(1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上;(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d个单位.1.已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=________.【解析】 ∵a1=4,d=-2,∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.【

5、答案】 6-2n2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.【解析】 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.【答案】 46[小组合作型]等差数列的判定与证明 已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明an+1-an为一个常数即可.【自主解答】 (1)欲使{an}是等差数列,则

6、an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列.(2)证明:因为an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数,所以{an+1-an}是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列;(3)通项公式

7、法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.[再练一题]1.已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解】 (1)证明:bn+1-bn=-=-=-==.又b1==,∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.(2)由(1)知bn=+(n-1)×=n.∵bn=,∴an=+2=+2.∴数列{an}的通项公式为an=+2,等差中项的应用 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2

8、np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列,求p,q的值.【精彩点拨】 将x1,x4,x5用p,q表示出来,由x1,x4,x5成等差数列,即

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