极限与连续地62个典型习地的题目

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1、实用标准文档极限与连续的62个典型习题习题1设，求.解记，则有，.另一方面.因为，故.利用两边夹定理，知，其中.例如.习题2求.解,即..利用两边夹定理知.　精彩文案实用标准文档习题3　求.解习题4　求.解（变量替换法）令，则当时，于是,原式.习题5求.解（变量替换法）令，原式.习题6求(型)。为了利用重要极限，对原式变形精彩文案实用标准文档习题7求　.解原式.习题8　求.解由于.而.故不存在。习题9　研究下列极限（1）.∵　原式，其中，.∴上式极限等于0，即.（2）.精彩文案实用标准文档因为　，,所以.（3）.原式.习题10　计算.解原式.习题

2、11.习题12已知，求的值。解首先，∴原式，∴，而.习题13下列演算是否正确？.习题14求.解原式精彩文案实用标准文档.习题15求.解∵，，原式=0.习题16证明（为常数）。证（令）.习题17求.解原式.习题18求.解(连续性法)原式.精彩文案实用标准文档习题19试证方程（其中）至少有一个正根，并且它不大于.证设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。∵而若，则就是方程的一个正根。若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使.即故方程至少有一正根，且不大于.习题21求.解原式.习题20设满足且试证证取使得当时有即亦即于是递推得从而由两边夹准则有习题

3、22用定义研究函数的连续性。证首先，当是连续的。同理，当精彩文案实用标准文档也是连续的。而在分段点处故习题23求证.证∵，而.由两边夹定理知，原式成立.习题24设任取记试证存在，并求极限值。证故由题设由于故单调有下界，故有极限。设精彩文案实用标准文档由解出（舍去）。习题25设求解显然有上界，有下界当时即假设则故单增。存在。设则由得即（舍去负值）。当时，有用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证习题26设数列由下式给出求解不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减，并以2为下界，设在等式两边按奇偶取极限，得两个关系，解出由于的奇数列与偶数列

4、的极限存在且相等，因此精彩文案实用标准文档的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）习题27设试证收敛，并求极限。证显然假设则由，可解出（舍去）。下面证明收敛于由于，递推可得由两边夹可得故习题28设试证（1）存在；（2）当时，当时，证显然有又单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而，有因此时即时）。精彩文案实用标准文档当时，由的单减性便知即当时，即（当时）。习题29习题30若收敛，则证收敛，设故必有界。设因此而习题31求变量替换求极限法（为求有时可令而）习题32求（为自然数）解令则因此习题33求解令且当时故原式精彩文案实用

5、标准文档习题34求解先求令则上式故原式用等价无穷小替换求极限习题35求解记原式==习题36设与是等价无穷小，求证（1）（2）证即其中故精彩文案实用标准文档（2）习题37设为自然数，试证使证（分析：要证使即要证有根）令，显然在上连续，于是记则又对函数应用介值定理，知使即存在使习题38设证明使精彩文案实用标准文档证（分析：将结果变形）记则于是或由介值定理知即习题39设且证使证反证法。若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾。故使习题40设且又证明至少有一点使证故在上有最大值和最小值,使于是由介值定理，知使习题41证明方程至少有一个小于1的正根。

6、证设显然但使即方程至少有一个小于1的正根存在。精彩文案实用标准文档习题42设连续，求解故由于在=1，-1处连续，所以习题43试证方程至少有一个实根。证做函数显然使即在内必有实根。习题44求的连续区间。（解：先改写为分段函数，结论为：习题45求为何值时，函数，在上处处连续。只需讨论分段点处的连续性：要在处连续，必有精彩文案实用标准文档习题46设，定义求解有下界即有又，即单减有下界，故有极限。设且有有（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）习题47（解：单增有上界，可解出极限）习题48设且证明使证若则取若则可取则令必有且由零点定理知使即习题4

7、9(选择题)设在内有定义，连续且有间断点，则(A)必有间断点，(B)必有间断点，(C)必有间断点，(D)必有间断点.精彩文案实用标准文档解选[D]（(A)因的值域可能很小。(B)反例而无间断点。(C)总有定义。习题50证明方程至少有一个正根，且不超过证设而如果则即为的零点.如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.习题51若函数可以达到最大值和最小值，求证证设则对任意有或有由的任意性，可知习题52设且恒大于零，证明在上连续.证任取由于在处连续且大于使当时（若为左端点，则应为类似处理有精彩文案实用标准文档可找到使当时有取则当时，有故知在处连续。由

8、的任意性，知在上连续.习题53设试讨论在处的连续性.解时，在处连续，时，为的跳跃间断点（第一类间断点).当时为第二间断点。习题54设函数