关于导数地29个典型习地的题目

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1、实用标准文档关于导数的29个典型习题习题1设函数在的某邻域内类(有一阶连续导数)，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。解由题设知.由洛比达法则知故联立可解出习题2设其中有二阶连续导数，且.(1)求(2)讨论在上的连续性.解(1)当时，用公式有当时，用定义求导数，有(2)因在处有而在处连续，故习题3证明：若（圆），其中为定数则定数。证求导，即再导一次，即精彩文案实用标准文档注恰是圆的半径.习题4证明：若在内可导，且则证作辅助函数应Cauchy中值定理.,由Cauchy中值定理有（显然）或或因即于是，

2、.即习题5设在上有二阶导数，且证明证以及任意，则有即由题设知下面求使为最小。为此令解出而故知在处为最小.从而可知习题6设函数在内可导，且试证使得精彩文案实用标准文档证取数由介值定理知使在区间上分别应用微分中值定理有从而显然,当取则且代入得习题7求在处的100阶导数值。解由Taylor公式有.故习题8设证明证设应用Lagrange中值定理有又设则当时,此时单减.从而即习题10设在内有定义，存在，且满足如果求证证故使欲证只需证明反证法，若则又为极大，故但另一方面精彩文案实用标准文档矛盾。故知若则仿上面的

3、证明，有另一方面矛盾。故命题得证。习题11设在内二阶可导，又设联结两点的直线与曲线相交于点，求证：在内至少存在一点使证对在上分别应用Lagrange中值定理，使由于三点在同一直线上，所以再对在上应用Rolle定理可得：使习题12设在上有二阶导数试证使得证令则在上二阶可导，且对在上分别应用Rolle定理，使对由于在上可导，再用Rolle定理，使得而令即得所求证的等式。习题13设二阶可导，且求证证二阶可导，且可导，由闭区间上连续函数的性质，使为最小值，且再由Taylor公式有其中介于与之间，分别取得当时

4、，由前式推出当精彩文案实用标准文档时，由后式推出由此即得习题14设试证证令则在上连续，在内可导，且由得唯一驻点由于在上的最大值为1，最小值为于是习题15设在上二阶可导，则在内必存在一点使证将在处展开，令即类似在处展开，令则有相减得所以其中，即在内存在一点，使习题16设在上二阶可导，且证明证将在点展开，求出的值：精彩文案实用标准文档相减因此因为故有当时，即习题17设在上二阶可导，且其最大值在内达到：试证证(类似方法处理，先将在某点展开，再将0,1分别代入)设是的最大值点，则有且应用Taylor公式有因

5、此于是习题22设且证明使（提示：用三阶Taylor公式，将在处展开，然后分别用0,1代,相减，利用条件便有即于是，即在(0,1)内至少存在一点使）精彩文案实用标准文档第七节　函数的连续性与间断点一、函数的连续性1．增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即＝－。（增量可正可负）。例1分析函数当由变到时，函数值的改变量。2．函数在点连续的定义　　　定义１：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增＝也趋向于零，则称函数＝在点处连续。　定义２：设函数＝

6、在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数＝在点处连续。定义3：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数＝在点连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三个条件：（1）函数＝在点的某个邻域内有定义（函数＝在点有定义），（2）存在；（3）。3．函数＝在点处左连续、右连续的定义：（1）函数＝在点处左连续Û在内有定义，且（即）。（2）函数＝在点处右连续Û在内有定义

7、，且（即）。显然，函数＝在点处连续Û函数＝在点处既左连续又右连续。(3)、函数＝在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。3、函数在区间上连续的定义精彩文案实用标准文档定义4：如果函数＝在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数＝在该区间上是连续的。例1：讨论下列函数在区间内的连续性（1）（2）（3）例2：设，试确定的值，使函数在处连续。二、函数的间断点（一）．间断点概念：设函数在内有定义（在点处可以无定义），如果函数在点处不连续，则称点为函数

8、的一个间断点（或不连续点）。函数在点连续：函数在点不连续：（1）函数在点有定义，（1*）函数＝在点没有定义（2）存在；（2*）不存在（3）（3*）存在，但在点没有定义，或（二）.间断点的分类设为函数的一个间断点，1、第一类间断点，都存在，（1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。函数在点无定义，函数在点有定义，但。（2）若¹，即不存在，此类间断点称为跳跃间断点。2.第二类间断点与中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷间断点和振荡间断点。例3：讨论下列函数