案例：数列求和（技能训练）.doc

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1、案例：数列求和一、本案例重点研究内容：数学技能的训练与获得．本案例聚焦的是以下内容：1数列求和涉及哪些基本技能？2如何把握技能训练的序与度？3熟能生巧还是熟能生厌？4如何超越技巧？二、教学设计本节课是探讨一般数列的求和问题．主讨围绕着三种求和方法展开，即拆项法、错项相消法、裂项求和法．本堂课从学生熟悉的两个简单的等差等比数列的求和问题入手，通过对这两个数列对应项相加再求和，引出第一种方法“拆项法”，这样的引入是符合学生的认知规律的．接下来的两道练习题第一题是为了巩固方法，第二题是想让学生了解该方法所适用的不同题型，以便灵活运

2、用．接着在对原来的两个数列对应项相乘，又得到新的数列，再让学生求和．当学生思维产生障碍时，教师还是应该尽量让学生去分析、去剖析，在他们最困难的时候，再帮他们一把．这种错项相消法是三种方法中较抽象、较难理解的一种，因此讲解时尽量放慢速度，并且黑板演示了整个解题过程．完成后又让学生自己总结注意的地方，以深刻理解该方法．最后介绍了裂项求和法．对于每种方法，教师都让学生自己总结所适用的题型，提高学生灵活运用各种方法的水平，并且培养学生的归纳总结的能力．而整堂课教师力图以学生探究、师生交流和教师讲授相结合的方式来展开．三、教学课堂实录

3、片断一：其实很简单的之前，已经学习了等差等比数列的求和公式，本堂课是要解决非等差等比数列的求和问题．上课之前，老师在黑板上写了两个数列：①1,2,3,4,…；②一上课，老师就请学生看黑板上的题，分别求出它们的通项公式和前n项的和，并化为最简．学生都认真地开始计算．老师请一位学生回答，答案正确．分别是：①中：；②中．在意料之中．老师：很好．同学们能够很快的把两个数列的通项公式和求和公式求出，是因为判断出这是两个我们熟悉的等差或等比数列．那么你能否求出数列③的通项公式和前n项的和呢？有前两题作铺垫，学生应该不很费力的就能得出数列

4、的通项公式和前n项的和．老师接着问：请问这个数列是等差或等比数列吗？你是怎么求得的？学生回答：其实很简单的，这个数列非等差等比数列，但它的每一项是由前两个等差等比数列对应项相加所得的，所以通项公式和求和也对应相加．老师：分析的很好．第三个数列虽非等差或等比数列，但它是由一个等差数列和一个等比数列对应项相加所得的新数列．所以我们可把它的通项公式拆成等差和等比数列两项，然后再分别求出它们的前n项的和，即得新数列的前n项的和．这种把通项公式拆成两个或两个以上的等差或等比数列的求和的方法叫做拆项法求和．今天我们就要一起来探讨非等差或

5、等比数列的求和问题．评析：由两个熟悉的等差、等比数列的通项公式和求和问题引出非等差等比数列的求和问题，由浅入深、层层铺垫，体现了数学中化归的思想．由学生自己探索、发现，符合学生的认知规律，也能调动学生的积极性片断二、原来还是拆项法呀老师：那么，什么样的数列求和能用拆项法呢？如果我没有前两个数列作铺垫，第三个数列你也能很快求出其前n项的和吗？再来求下面数列的前n项的和：学生应该很快就能求出答案．老师：你是如何考虑的？学生：把它的通项公式拆成一个等差数列和一个等比数列的对应项的差，再分别求和．老师：你是如何考虑的？老师：下面再来

6、看这样的一个数列：，你能求出它的前n项的和吗？学生开始安静下来，陷入沉思，有的学生开始讨论．过了一会之后，老师发现有的学生表情有点兴奋，于是叫了其中一位起来回答．学生：这个数列的通项公式是，由拆项法可看成一个常数列和等比数列的对应项相减，所以这位学生刚分析完，就听见有学生感慨：“原来还是拆项法呀？”老师：对，这个数列从形式上无明显的由等差或等比数列对应项加减的痕迹，但通过对通项分析化简，可转化为等差等比数列问题，从而用拆项法求和．现在请总结一下什么样的数列适合用拆项法求和？思考了一会儿，一位学生作了总结：数列的通项公式是等差

7、或等比数列的和的形式可用拆项法求和．评析：同样的解题方法，要注意灵活运用．有时可直接用，但大多时候需“拨云”才能“见日”．当学生碰到思维障碍时，教师要留出足够时间让学生充分暴露问题，再恰当地给予提示．片段三、这样对应着写就不容易搞错项了老师：拆项法适用于通项公式是等差或等比数列的和的形式的数列，现在如把开始的两个等差等比数列的对应项相乘，得到一个新数列，你们试试看又如何求出该数列的前n项的和呢？学生开始思考，教师里非常安静．有学生皱着眉头在想、有的低着头在算、有的窃窃交流、还有的似乎一片茫然……老师叫一位在低头算的学生说说想

8、法，该生说:“这个数列每一项的第一个乘数依次构成一个等差数列，第二个乘数依次构成一个等比数列，可我又不能把它拆成两个数列的积，就不知怎么做下去了．”老师：你回想一下当初等比数列前n项和的公式的推导过程．学生：等比数列前n项的和的公式的推导过程是这样的：先写出，再写出n，然后把两式相减，再分