2000年上海高考数学(理).doc

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2000上海高考数学试卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．已知向量(－1，2)、=(3，m)，若┴，则m=。2．函数，的定义域为。3．圆锥曲线的焦点坐标是。4．计算：=。5．已知的反函数为的图象经过点，则=。6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。（按：1999年本市常住人口总数约1300）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段，则在区间[1，2]上=。9．在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线两点，则。12．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列中，若，则有等式成立。二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13．复数 [答]（）14．设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：（1）若，，则。（2）若，，则。（3）若,，则。其中正确的个数是（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．[答]（）15．若集合是：.[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A）若点为角终边上一点，则。（B）同时满足的角有且只有一个。（C）当时，的值恒正。（D）三角方程的解集为。[答]（）三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（本题满分12分）已知椭圆的焦点分别为，长轴长为6，设直交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。[解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数。（1）当时，求函数的最小值：（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。[解]（1）[解]（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。[解]（1）[解]（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。在XOY平面上有一点列对每个自然数，点，位于函数的图象上，且点，点构成一个以为顶点的等腰三角形。（1）求点的纵坐标的表达式。（2）若对每个自然数，以，为边长能构成一个三角形，求取值范围。（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数。[解]（1）[解]（2）[解]（3） 22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000上海高考数学试卷答案说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。1．4．2．3．(－4，0)，(6，0)。4．。5．1．6．9．7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．X．9．－462。10．11．12．二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。 题号13141516代号CAAD三、（第17题至第22题）17．[解]设椭圆C的方程为由题意因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，…（8分）设18．[解法一]如图建立空间直角坐标系…（2分）由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z)，则又[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，∴∠DAF=…（4分）∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，AF=2BE=。…（6分）又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。 ∴DF=DA。…（8分）三角形ADF是等腰三角形，，故，…（10分）又，因此四面体ABCD的体积是，…（12分）19．[解]（1）当，在区间上为增函数，…（3分）地区间上最小值为，…（6分）（2）[解法一]在区让上，恒成立，…（8分）设，递增，∴当时，，…（12分）于是当且仅当时，函数恒成立，故。…（14分）（2）[解法二]，当时，函数的值恒为正，…（8分）当时，函数递增，故当，…（12分）于是当且仅当时，函数恒成立，故。…（14分）20．[解]（1），得指令为，…（4分）（2）设机器人最快在点处截住小球…（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有，…（8分）。即，得或，∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，，故机器人最快可在点处截住小球，（10分）所给的指令为，（14分） 21．[解]（1）由题意，，∴，…（4分）[解]（2）∵函数递减，∴对每个自然数n，有，则以为边长能构成一个三角形的充要条件是，即…（7分）解得或∴，…（10分）[解]（3）∴∴…（12分）数列是一个递减的正数数列，对每个自然数，于是当时，，当时，，因此，数列的最大项的项数满足不等式且。22．[解]（1）由题设，，于是由，…（3分）因此由，得关系式…（5分）[解]（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，…（7分）消去，得，故点的轨迹方程为…（10分）[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为，…（12分）[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，∴，即，当时，方程组无解，故这样的直线不存在。…（16分）当时，由得，解得或，故这样的直线存在，其方程为或，…（18分）[解法二]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，∴，得，…（14分）故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上。∴，…（16分）即，得或，故这样的直线存在，其方程为或，…（18分）