11春季学期《高等几何》离线作业.doc

《11春季学期《高等几何》离线作业.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、华师《高等几何》离线作业一、填空题1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、公理列举，定理的叙述和证明等四个方面组成的。2．绝对几何学的公理体系是由四组，4，16条公理构成的。3．罗巴切夫斯基函数当平行矩连续递增时，其对应的平行角连续递减。4．斜率为的直线上的无穷远点的齐次坐标是。5．两个射影点列成透视对应的充要条件是点列的底的交点是自对应点。6．欧氏平面上添加了无穷远直线后，成为仿射平面。7．共线4点，若满足，则称点对与点对互成调和共轭。8．平面内两点称为平面内的。9．罗巴切夫斯基函数当平行矩连续递增时，其对应的平行角连续递减。10．

2、球面三角形的三角和常小于6d而大于2d。球面三角形中两角和减去第三角常小于2d。11．射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼。12．共线4点，若满足，则称点对与点对互成调和共轭。13．平面内两点称为平面内的圆点。14．几何学公理法从开始到形成，大体经历了3阶段。15．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学。16．欧几里得第五公设叙述为：如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交.17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。18．罗巴切夫

3、斯基平面几何的平行公理叙述为通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交19．罗氏平面上三角形内角和小于二直角。20．布里安香定理叙述为外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点。21．欧氏直线上添加了无穷远点后，成为仿射直线。22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是非奇异线性变换。23．通过圆点的任意虚直线称为迷向直线。24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得.25．“过一点作一直线”和“在直线上取一点”叫做对偶运算。26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，

4、萨开里四边形上底角小于直角.27．笛沙格定理叙述为两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上.28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成2个透视对应的积。29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是自极三点形.30．巴斯加定理叙述为内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线.31．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。二、计算题1．求4点（AB，CD）的交比，其中。答：2．求射影对应式，使直线上的坐标是1，2，3的三点对应直线上的坐标为的三点。答：3．求点关于二阶曲线的极线方程

5、。答：4．求过点上的实直线。答：实直线为5．求重叠一维基本形的射影变换自对应元素的参数。答：2，36．求由两对对应元素1与，0与2所决定的对合方程。答：7．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点的直线的坐标。答：8．求点关于二阶曲线的极线方程。答：9．求4直线的交比，其中分别为.答：10．求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。答：11．求直线上无穷远点的齐次坐标。答：12．设点，求点D的坐标。答：13．求连接与的直线方程。答：14．求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。答：15．求点关

6、于二阶曲线的极线方程。答：三、证明题1．求证：决定的点在相互垂直的两条直线上。证明：设，可得两个点的方程为用坐标表示为.这两个点在直线簇上。又为的根，根据韦达定理，，故决定的点在相互垂直的两条直线上。2．已知共面三点形与是透视的，求证六直线属于同一个二级曲线。证明：考虑以为顶的简单六线形。三对对顶连线是，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。3．设四点，求证：。证明：直接计算即可。4．设在二阶曲线上，不在上，分别交于；分别交于。求证：共点。只须证三点共线。为此考虑六点形，因为三点共线，由巴斯加定理得证。5．直线和交于，和交于，、分别交

7、、于、，交于。求证：、、交于一点。证明：考虑三点形，因对应边与，与，与分别交于共线三点，所以根据笛沙格定理的逆定理知共点.6．设直线与三点形三边分别交于，证明：证明：令与交于，则因，，所以命题得证.7．设三点形与是透视的，与，与，与分别交于。证明三线共点。证明：考虑三点形，令与的交点为，根据笛沙格定理可以证明与的交点，与的交点，点三点共线，因此三直线共点.四、综合题1．作已知点P关于二阶曲线C的极线。CP答：过P作C的二割线AB、CD.连AC，BD交于E，连AD，BC交于F，则EF为P点关于曲线C的极线。2．作出下图的对偶图形。3．作出下图的对偶

8、图形。4．作图证明：给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得如图，取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与交于，则有pAD