极值积分微分

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1、.13.1  绘图说到绘图，只要计算函数在某一区间的值，并且画出结果向量，这样就得到了函数的图形。在大多数情况下，这就足够了。然而，有时一个函数在某一区间是平坦的并且无激励，而在其它区间却失控。在这种情况下，运用传统的绘图方法会导致图形与函数真正的特性相去甚远。MATLAB提供了一个称为fplot的巧妙的绘图函数。该函数细致地计算要绘图的函数，并且确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。该函数的输入需要知道以字符串表示的被画函数的名称以及2元素数组表示的绘图区间。例如：>>fplot(‘humps‘,[0  2])>

2、>title(‘FPLOTOFHUMPS‘)在0和2之间计算函数humps，并显示该函数的图形。（见图13.1)。13.2  极小化作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上，可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验humps的图形在峰值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常常奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情

3、况下，以及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB....提供了两个完成此功能的函数fmin和fmins。这两个函数分别寻找一维或n维函数的最小值。这里仅讨论fmin。有关fmins的详细信息，参阅《MATLAB参考指南》。因为f(x)的最大值等于-f(x)的最小值，所以，上述fmin和fmins可用来求最大值和最小值。如果还不清楚，把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。为了解释求解一维函数的最小值和最大值，再考虑上述例子。从图13.2可知，在xm

4、ax=0.7附近有一个最大值，并且在xmin=4附近有一个最小值。而这些点的解析值为：  和  。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用fmin寻出数值上极值点，给出函数主体如下：%  ex_fmin.mfn=‘2*exp(-x)*sin(x)‘;            %  definefunctionforminxmin=fmin(fn,2,5)              %  searchoverrange2

5、=xmin;                          %  needxsincefnhasxasitsvariableymin=eval(fn)                    %  evaluateatxminfx=‘-2*exp(-x)*sin(x)‘;          %  defineformax:noteminussignxmax=fmin(fx,0,3)            %  searchoverrange0

6、 finderror....x=xmax;                          %  needxsincefnhasxasitsvariableymax=eval(fn)                    %  evaluateatxmax下面是M文件的运行结果：>>ex-fminxmin=  3.9270emin=  1.4523e-006ymin=  -0.0279xmax=  0.7854emax=-1.3781e-005ymax=  0.6448这些结果与上述图形非常吻合。注意，fmin的

7、工作方式很像fplot。要计算的函数可用一个函数M文件表达，或者只给出一个x....为自变量的字符串。上述例子就是使用后一种方法。这个例子也使用了函数eval，它获取一个字符串，并解释它，如同在MATLAB提示符下输入该字符串。由于要计算的函数以x为自变量的字符串形式给出，那么设置x等于xmin和xmax，允许eval计算该函数，找到ymin和ymax。最后，特别注意，求数值上的最小值包含一个搜索过程，fmin不断计算函数值，寻求其最小值。如果计算的函数需要很大的计算量，或者该函数在搜索区间不止一个最小值，则该搜索

8、过程所花的时间比较长。在有些情况下，搜索过程根本找不到结果。当fmin找不到最小值时，它会停止运行并提供解释。与函数fmin一样，函数fmins搜索最小值。不过，fmins搜索向量的标量函数的最小值。即fmins寻找这里x是函数f(.)的向量参数，函数f(.)返回标量值。函数fmins利用单纯形法求最小值，它不需要精确的梯度计算。任何一种优化工具箱中具有更多