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1、第六讲Matlab微分和积分理论介绍：微分、有限差分、积分、离散求和软件求解：函数及常见注意事项一．一元函数导数与微分Matlab由命令函数diff来完成求导运算，调用格式为：diff(fun,’variable’,n)，其中fun为待求导运算的函数，variable为求导变量，n为求导阶次。1.一般求导运算例1求函数的导数程序：clearsymsxy=cos(x)^3-cos(3*x);dy=diff(y)2.求高阶导数例2求函数的3阶导数程序：clearsymsxy=log((x+2)/(1-x));dy=diff(y,x,3)注意：求高阶导数运算对计算机硬件要求较高，如果阶次太高
2、可能导致计算机死机。Ctrl+C键终止计算机运算。3.符号函数导数运算例3设函数都是可导函数，求函数的导数程序：clearsymsxyF=sym('u(x,y)*v(x,y)');diff(F)diff(F,y)6二．一元函数导数、微分的应用微分式研究函数局部性质的有力工具，通过对函数导数的研究可以清楚的描述出函数的变化趋势，本节主要讨论函数的极值、凹凸性、拐点和函数曲线的变化趋势之间的关系。例4讨论函数的极值、单调性和导函数之间的关系程序：clearsymsxydyd2yy=x^2/(1+x^2);dy=diff(y)%(dy=2*x/(1+x^2)-2*x^3/(1+x^2)^2)
3、simplify(dy)%(ans=2*x/(1+x^2)^2)d2y=diff(y,2)%(d2y=2/(1+x^2)-10*x^2/(1+x^2)^2+8*x^4/(1+x^2)^3)d2y=simplify(d2y)%(d2y=-2*(-1+3*x^2)/(1+x^2)^3)lims=[-5,5];subplot(3,1,1)fplot('x^2/(1+x^2)',lims)subplot(3,1,2)fplot('2*x/(1+x^2)^2',lims)subplot(3,1,3)fplot('-2*(-1+3*x^2)/(1+x^2)^3',lims)例5求函数的极值点分析：
4、对f(x)求导，然后令f’(x)=0，解方程可求得函数f(x)的极值点。程序：clearsymsxy=x^3+6*x^2+x-1;dy=diff(y)%dy=3*x^2+12*x+1px=solve(dy)%px=[-2+1/3*33^(1/2);-2-1/3*33^(1/2)]ezplot(y)说明：solve函数有时候不能求出函数的解，注意用ezplot函数画出函数图像，估计解的位置，然后使用fzero函数求解。三．一元函数的积分6Matlab为积分运算提供了一个简洁而又功能强大的工具，完成积分运算的命令函数为int，int函数的调用格式为：int(fun,variable,a,b
5、)，其中fun为待求积分的函数表达式，variable为积分变量，a、b为积分下、上限。例6计算不定积分程序：clearsymsxyabcy=sin(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x);int(y,x)pretty(ans)说明：利用Matlab积分计算工具，简单的求出了不定积分，Matlab不定积分计算略去了常数项C的声明。例6计算定积分程序：clearsymsxyy=(x*exp(x))/(1+x)^2;int(y,0,1)%ans=1/2*exp(1)-1练习与思考：有的函数，如果积分区间取得不合适的话Matlab会给出错误警告，比如y=1/x在区间[-1,1]上的积分
6、，这种情况该如何让处理呢？(数值积分)四．多元函数微分法及其应用Matlab多元函数求偏导数函数以及隐函数求导仍然使用命令函数diff。1.求偏导函数和隐函数求导例7已知方程计算分析：令F=x^2+y^2+z^2-4*z,根据隐函数求导定理有程序：clearsymsxyzF=x^2+y^2+z^2-4*z;Fx=diff(F,x);Fz=diff(F,z);G=-Fx/Fz6练习与思考：对于多元函数，如何求高阶偏导函数、混合偏导函数？2.复合函数求导例8已知计算程序：clearsymstxyt=exp(sin(x));y=sin(exp(t));dy=diff(y,x)；dy=simp
7、lify(dy);pretty(dy)注意：如果把t=exp(sin(x))和y=sin(exp(t))的输入顺序交换，则dy的结果将截然不同，计算结果为0，这说明在使用Matlab计算复合函数导数时，变量声明一定要按照求导过程中对变量的已知顺序进行。3.梯度计算和方向导数Matalb符号运算中由jacobian函数来完成梯度的运算，而数值计算中由函数gradient来完成。(1)符号运算对梯度的计算符号计算梯度运算中jacobian函数的调用
