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1、3.4.1基本不等式公主岭一中王春芳一、教学过程：（一）创设情景，提出问题；右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。(1)你能通过下面的模拟图找出一些相等关系或不等关系吗？【分析】在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．（二）抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。(2)一般地,对于任意实数,我们有,当且仅当时,
2、等号成立.请你证明它?【分析】（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）(3)如果,我们用分别代替,可得什么不等关系?设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：。【归纳总结】6如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。（三）理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2、联想数列的知识理解
3、基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。3、符号语言叙述：若，则有，当且仅当a=b时，。[问]怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即。4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式？方法一：作差比较或由展开证明。方法二：分析法：由于，于是要证明，只要证明，[来源:学科网]即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．5、探究基本不等式
4、的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,6,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.【分析】根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。[来源:学科网ZX
5、XK]（四）基本不等式的应用例1．（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【设计意图】通过该例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化。基本不等式的主要应用就是求函数的最值，通过该例题的设计，让学生了解根据基本不等式的结构(即和式≥积式)，我们有“和定积最小，积定和最大”的相关定理。询问有同学用其它方法吗？如果你没学基本不等式能做吗？二次函数思想【
6、师生活动】解：(1)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：xy=100由基本不等式可知：（等号在x=y时取得）所以当x=y=10时，x+y有最小值20[来源:Z。xx。k.Com]答：这个矩形的长、宽分别为10米时，所用篱笆最短，最短的篱笆是20米。(2)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：2x+2y=36，即x+y=18由基本不等式可知：（等号在x=y时取得）所以，等号在x=y=9时取得答：这个矩形的长、宽分别为9米时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米。例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，
7、深为3ｍ．如果池6底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【设计意图】1.通过该例题的设置，让学生了解在实际问题中我们也可以利用均值不等式求最值。2.通过设未知量，列方程或不等式。让学生了解这些过程其实质就是将实际问题转化为数学问题的过程。【师生活动】1.如何设未知量，如何将实际问题转化为数学问题？2.如何解决上述的数学问题？3.将数学结果还原成实际问题的结论。【分析】水池呈长方体形，它的高是3m，底面长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此，应当考察底
8、面的长与宽取什么值时水池总造价最低【解】设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元。根据题意，有由容积为4800m3,可得即由基本不等式与不等式的
