《基本不等式》教学设计

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1、《基本不等式》教学设计湖北省孝昌县第一高级中学贺年成【摘要】通过实例探究，引导学生从图形中获得两个基本不等式，然后进行理性推导这两个基本不等式，数形结合理解基本不等式的几何意义，掌握不等式取等的条件并进行应用.【关键词】实例探究基本不等式几何意义取等条件基本应用一、教材分析：本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用，教材开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图在于利用会标图相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，在此基础上从三种不同角度引导学生认识基本不等式,

2、《新课标》对本节的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题.二、三维目标：1.通过探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，会推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义，掌握不等式取等的条件是：当且仅当这两个数相等.2.通过对基本不等式不同形式应用的研究，结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想，渗透“转化”和“数形结合”的数学思想.3.借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过练习引导学生领会运用基本不等

3、式的三个限制条件“一正二定三相等”在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．结合教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．三、重点难点:重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，用基本不等式求最值等号成立的条件．四、教学过程：1.动手操作如图1是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形

4、证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的（借此说明中国古代数学的辉煌成就）．图1如图2用一张边长为的正方形纸MNOP，使MA=NB=OC=PD=b，然后分别沿虚线AB，BC，CD，DA将四角折叠，易知A,G,H共线,B,H,E共线,C,E,F共线，D,F,G共线，考察：四个涂色的全等的直角三角形的面积之和和正方形ABCD面积的大小关系.问题引导：(1)在这个几何图形中由面积关系你能得到怎样的不等关系式？(2)你能用数学推理给出证明吗？(3)你能给基本不等式做出几何解释吗？图22.探究新知把实际问题抽象成数

5、学问题（数学建模），结合实际，围绕问题展开探究：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为，于是：四个直角三角形的面积之和，正方形ABCD的面积．由图可知，即通过学生动手操作，探索发现：，（是直角三角形的边长）教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件.问题引导：(1)如果，不等式还成立吗？(2)等号成立的条件什么？3.结论证明证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（向量法）：设，，.4.特例探究在中

6、，若，用分别代替，则可得，通常写成：教材上采用执果索因这种分析法证明上述不等式，让学生明确逆向思维对解决问题作用.DCABEO同时让学生探究了的几何解释：如图3，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．图3故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）5.深化认识基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）称为的几何平均数；称为的算术平均数.基本不

7、等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.6.应用举例【例题】（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？师生合作探究例题的解法，由问题引导学生归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化.问题引导：1.例题中什么是定值，求什么？2.你能归纳出什么结论？7.归纳小结对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若

8、（定值），则当且仅当时，有最大值．引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件“一正二定三相等”在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，通过课堂练习进一步加深理解.8.课堂练习(1)求的最小值(2)设，且，求的最大值．9.反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）.（2）运用基本不等式解决简单