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1、方阵的特征根与方阵的相似1.基本概念与基本结论定义设,.如果存在,,使,称为的特征根,称的属于的特征向量.称为的特征多项式.设,如果存在,,使,那么称与在上相似，记为.设是的特征根,且.称为的属于的特征子空间,其维数称为的几何重数.作为的根时的重数叫的代数重数.设,如果存在可逆阵,使是对角形阵,则称在上可以对角化.结论1设,,则(ⅰ)是的特征根是的在复数域内的根；（ⅱ）当是的特征根时，是的属于的特征向量是齐次线性方程组的在中的非零解向量.结论2设.且,则对,的系数等于的一切阶主子式之和的倍,即设的个特征根为，则由Vieta定理知……结论3设,的全体特征根为.则，.特别地,推
2、论设.则可逆的特征根都不等于0.结论4设,,则(Hamilton-Cayley定理)结论5，则（ⅰ）;(ⅱ)与有相同的迹，则(ⅲ)与有相同的特征根.结论6设,.若是的特征根,则(ⅰ)的几何重数的代数重数；(ⅱ)的几何重数.结论7设.(ⅰ)在上可对角化存在的个在中的特征向量线性无关；(ⅱ)在上可对角化的特征根都在内，且对于的每一个特征根，的代数重数等于的几何重数.结论8设,.若是的互不相同的特征根,且的属于的在中的特征向量线性无关,,则线性无关.推论若上的阶方阵有个互不相同的在中的特征根,则在上可以对角化.设.对,如果,那么称为的化零多项式.把的化零多项式中次数最低且最高此项
3、系数为1的非零多项式叫做的最小多项式.结论9设,(ⅰ)的最小多项式是唯一的；(ⅱ)是的化零多项式能被的最小多项式所整除；(ⅲ)的特征多项式能被的最小多项式所整除;(ⅳ)与有相同的最小多项式；(ⅴ)令的最小多项式是，阶子方阵的最小多项式是，，则是的最小公倍式.2特征多项式的降阶定理定理设,,,则证当,即时,结论显然成立.设,存在阶可逆阵与阶可逆阵,使.令,为阶子方块,则,相似的矩阵具有相同的特征多项式,故所以定理设,,,则证1)与相似,故两者的特征多项式相同,所以,即有.2)令，.由1)知,,.注1.和分别是,阵与有相同的非零特征根.2.与有完全相同的特征根,进而;3可逆与有
4、相同的特征多项式.例1可逆,,.证明有一个根是,而其余个根全是.证.与有相同的根,而例2的特征根为和0,0是重的.即令,则,故的特征根为,进而例3求阶实对称阵的全部特征根,并求.解设,则.的特征根故的特征根为还有个0;进而的全体特征根为,还有个,所以例4设阶方阵的秩为,,则是的至少重特征根证令,故至少是的重特征根.另证:由特征多项式系数的意义知,的系数,故,故至少是的重特征根.利用降阶定理的证明方法,我们可以完成以下两例的证明.例5设是秩为的阵,都是阵,且.证明与至少有个公共的特征根0例6设分别是阶方阵,阶方阵,是秩为的阵,=,证明(ⅰ)当时,与至少有个公共的特征根;(ⅱ)
5、当与的特征多项式互素时,;(ⅲ)当为列满秩阵时,的特征根全是的特征根证：（i）秩C=r>0,故存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q，使.令，。则，，这里与都是r阶方阵。由于AC=BC，因此，，，（相似的矩阵具有相同的特征多项式），。因此，的r个根是A与B共同的r个特征根。（ii）用反正法，假设C0，则秩由（i）知A与B的特征多项式有r个公共根，这就说明与有共同的一次因式，因而与在C上不互素，当然与在F上不互素，矛盾。（iii）由（i），这是显然的。3.“方阵相似于上三角形”及其应用例1设A，则存在可逆阵P，使是上三角形。（主对角线元素是A的全体特征根）证对n用归纳法。当n=1，结
6、论显然。设，且结论对n-1阶复方阵成立。下考虑n阶复方阵A，设是A的一个特征根，（0）是A的属于的特征向量，即有。列向量，{}线性无关，扩充成的一个基，，…，。令=（，，…，），则是可逆阵，由于，，……，，它们可由基，，…，线性表示=…………………=…（，…，）=（，，…，）=（，，…，），=。令（）的右下角的n-1阶子方阵为，由归纳假设，存在n-1阶可逆阵，使=。令P=，则P是n阶可逆阵，且==，其中=（，…，）===例2设n阶方阵A的特征根为，，…，，g（x）=，则（i）g（A）的全部特征根为g（），g(),…，g();（ii）对非负整数m，的全部特征根为，，…；（ii
7、i）对复数c，cA的全部特征根为，，…，；（iv）若A可逆，则0，i=1，2，…，n，并且的全体特征根为，，…，。（v）当A可逆时，的全体特征根为，，…，。证:存在可逆阵P，使=（i）=====因此，，，…，是的全体特征根。（ii）与（iii）是（i）的简单推论。（iv）A可逆时，0，，故有=，因此的全部特征根为，，…，.(v)A可逆时，=，=（detA），的全体特征根为，，…，.故由（iiii）知，的全体特征根为，，…，。注：例2的证明中用到了如下结论①两个同阶上三角形阵R，S的乘积，仍是上三角形阵，且T的主对角
