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1、标准偏差出自MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/) 标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此,标准偏差的计算十分重要,它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中,不少
2、人不论测量次数多少,均按贝塞尔公式计算。样本标准差的表示公式 数学表达式： ·S-标准偏差（%）·n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个·i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法 z·在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。·如果价格保持平稳，这个指标值不高。·在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的
3、结果除以(n-1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有 σ1=li−X σ2=l2−X …… σn=ln−X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1） 由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由
4、于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ,即 设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计
5、算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。于是,将式(2)改写为 (2') 在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有 于是,式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。标准偏差σ的无偏估计 数理统计
6、中定义S2为样本方差 数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为 (3) 令 则 即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数,Kσ值见表。 计算Kσ时用到 Γ(n+1)=nΓ(n) Γ(1)=1 由表1知,当n>30时,。
7、因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30～50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于Kσ值的影响已不可忽略,宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计 将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到 (4) 式(4)适用于n>50时的情况,当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,而极差估
8、计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。 极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。 若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布,则 R=lmax−lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 (5) S3称为标准偏差σ的无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,其值见表2 由表2知,当n≤15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为
