北京市高三第一学期抽样检测

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1、2012年北京市高三第一学期抽样检测（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合,,则（）A.B.C.D.2.在等差数列{}的前13项之和为，则等于（）(A)12　　　　　(B)　　(C)　3　(D)13．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分

2、条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．甲、乙两名同学在次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是（A），且甲比乙成绩稳定（B），且乙比甲成绩稳定（C），且甲比乙成绩稳定189982103899甲乙（D），且乙比甲成绩稳定5.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A.①、③B.①、④C.②、③D.②、④输出结束是否开始5．如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）（B）（C）（D）7.函数f(x)的定义域为D，若对于

3、任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：；；.则等于（）A.B.C.1D.8．设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有（A）33组（C）32组（B）29组（D）7组第II卷（共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．计算的值为10．如图，函数在点处的切线方程为，则.11.在区间上任取两个数，则方程没有实根的概率为.lOADCB12.已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则__或_______.1

4、3.如图，已知⊙的直径，为圆周上一点，，过点作⊙的切线，过点作的垂线，垂足为，则___________．14.设，对于数列(…，…，),令为…，中的最大值，称数列为的“递进上限数列”.例如数列的递进上限数列为2,2,3,7,7.则下面命题中①若数列满足，则数列的递进上限数列必是常数列②等差数列的递进上限数列一定仍是等差数列③等比数列的递进上限数列一定仍是等比数列正确命题的序号是______②_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）设

5、，判断函数的奇偶性，并加以证明．解：（Ⅰ）…………………2分…………………4分…………………6分故的最小正周期为．…………………7分（Ⅱ）…………………9分…………………11分因为，所以函数是偶函数．…………………13分ABB1CC1A1MN16．（本小题满分14分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．．解法一：（Ⅰ）证明：因为平面，所以是在平面内的射影，…………………2分由条件可知，DABB1CC1A1MN所以．…………………4分（Ⅱ）证明：设的中点为，连接，.因为，分别是

6、，的中点，所以.又=，，所以.DABB1CC1A1MNHG所以四边形是平行四边形.所以.…………………7分因为平面，平面，所以平面.……………9分（Ⅲ）如图，设的中点为，连接，所以.因为底面，所以底面.在平面内，过点做，垂足为.连接，则.所以是二面角的平面角.…………………12分因为==2，由∽，得=.所以==.所以==.二面角的余弦值是.…………………14分ABB1CC1A1MNxyz解法二：依条件可知，，两两垂直.如图，以点为原点建立空间直角坐标系.根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.（Ⅰ）证明：因为，，所以.…………………2分所以

7、.即.…………………4分（Ⅱ）证明：因为，是平面的一个法向量，且，所以.…………………7分又平面，所以平面.…………………9分（Ⅲ）设是平面的法向量，因为，，由得解得平面的一个法向量.由已知，平面的一个法向量为.…………………12分设二面角的大小为，则==.二面角的余弦值是.…………………14分17.（本小题满分13分）设等差数列的前n项和为，且（c是常数，N*），.（Ⅰ）求c的值及的通项公式；（Ⅱ）证明：.（Ⅰ）解：因为，所以当时，，解得，---------------------------2分当时，，即，解得，所以，解得；---------

8、------------------5分则，数列的公差，所以.---------------------------8分（Ⅱ）因为---