2019届中考数学大题加练（二）

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1、大题加练(二)姓名：________　班级：________　用时：______分钟1．如图，已知直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6相交于A(，)和B(4，m

2、)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，tan∠DBA＝.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B，M，C，A，求四边形BMCA面积的最大值；(3)在(2)中四边形BMCA面积最大

3、的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)．∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点分别代入y＝ax2＋bx＋c得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.(2)由题意可得△ABO为等腰直角三角形，如图所示．若△ABO∽△AP1D，则＝.∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)．若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于点M，AD＝4.∵△ABO为

4、等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝P2M＝2，即点M与点C重合，∴P2(1，2)．综上所述，点P的坐标为P1(－1，4)，P2(1，2)(3)如图，设点E(x，y)，则S△ADE＝·AD·

5、y

6、＝2

7、y

8、.①当P1(－1，4)时，S四边形AP1CE＝S△ACP1＋S△ACE＝×2×4＋×2×

9、y

10、＝4＋

11、y

12、.∴2

13、y

14、＝4＋

15、y

16、，∴

17、y

18、＝4.∵点E在x轴下方，∴y＝－4.代入抛物线解析式得x2－4x＋3＝－4，即x2－4x＋7＝0.∵Δ＝(－4)2－4×7＝－12<0，∴此方程无解．②当P2(1，2)时，S

19、四边形AP2CE＝S△ACP2＋S△ACE＝×2×2＋×2×

20、y

21、＝2＋

22、y

23、.∴2

24、y

25、＝2＋

26、y

27、，∴

28、y

29、＝2.∵点E在x轴下方，∴y＝－2.代入抛物线解析式得x2－4x＋3＝－2，即x2－4x＋5＝0.∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，∴此方程无解．综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积．2．解：(1)∵B(4，m)在直线y＝x＋2上，∴m＝4＋2＝6，∴B(4，6)．∵A(，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6.(2)设动点P的坐标为

30、(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)，∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋.∵PC＞0，∴当n＝时，线段PC的长最大为.(3)∵△PAC为直角三角形，①若点P为直角顶点，则∠APC＝90°.由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在．②如图1，若点A为直角顶点，则∠P1AC＝90°.过点A作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝.过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝，∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，∴M(3，0)．设直线AM的

31、解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AM的解析式为y＝－x＋3.　①又∵抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6，　②联立①②式，解得x＝3或x＝(与点A重合，舍去)．∴C(3，0)，即点C，M点重合．当x＝3时，y＝x＋2＝5，∴P1(3，5)．③如图2，若点C为直角顶点，则∠ACP2＝90°.∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.作点A关于对称轴x＝2的对称点C，则点C在抛物线上，且C(，)．当x＝时，y＝x＋2＝，∴P2(，)．∵点P1(3，5)，P2(，)均在线段AB上，∴综上所述，当△PAC为直角三角形时，点P

32、的坐标为(3，5)或(，)．3．解：(1)如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝3，OE＝2.∵tan∠D