一次函数详细讲义

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1、1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个

2、变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同．例如:函数中，时，；时，．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数

3、解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2

4、）函数图象上点的坐标满足函数解析式．二、描点法画函数图象的步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．2.1正比例函数1、正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数注意：①注意k是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x为何值，y的值都为0，所以它不是正比例函数。②自变量x的指数只能为12、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.①当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；②当k<0时，直线y=kx经过

5、第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.注意：①解析式：y=kx（k是常数，k≠0）②必过点：（0，0）、（1，k）③走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限④增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小⑤倾斜度：

6、k

7、越大，越接近y轴；

8、k

9、越小，越接近x轴3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系

10、数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.2.2一次函数一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．注意：⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当，时，仍是一次函数．当，时，它不是一次函数．⑶一次函数的自变量取值范围是全体实数。⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象及其画法1、图象：一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．2、画法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果

11、这个函数是正比例函数，通常取，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．注意：由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．三、一次函数的性质⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．注意：①一次函数的图象、性质与、的符