第一章线性规划及单纯形法习题

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1、运筹学习题选解第一章线性规划及单纯形法1、（生产计划问题〉某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如表1-12..若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元.现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低.试建立线性规划模型.表1-12季度j生产能力人（吨）生产成本（万元/吨）需求M么（吨）13015.02024014.02032015.33041014.810解：现在我们对本问题定义三种不同形式的决策变量，从而从不

2、同的途径来构建模型.（1）设工厂第y季度生产产品'吨首先，考虑约束条件：第一季度末工厂需交货20吨，故应有％,220;第一季度末交货后积余（七―20）吨；第二季度末工厂需交货20吨，故应有七—20+%2220;类似地，应有^,+%2-40+%3>30；第四季度末供货后工厂不能积压产品，故应有x,+x2+x3-70+x4=10；又考虑到工厂每个季度的生产能力，故应有OS'其次，考虑目标函数：第一季度工厂的生产费用为15.0xP第二季度工厂生产的费用包括生产费用14x2及积压产品的存贮费0.2（%,-2

3、0）:类似地，第三季度费用为15.3%3+0.2（%,+x2-40）,第四季度赀用为14.8x4+0.2（x,+x2+x3-70）.工厂一年的费用即为这叫个季度费用之和.整理后，得下列线性规划模型：minz=15.6%,+14.4x2+15.5x.+14.8x4-26s.t.x,+x2>40x,+x24-x3>70x,+x2+x3+x4=8020

4、存贮:W:为上季度存贮:W:、生产fi之和与上季度的需求ft之差，乂考虑到第四季度末存贮:S:为零，故有：x{_20=）’2，y2+%，-20=y3,-30=y4,y4+x4=10；同时，每季度的生产量不能超过生产能力：xfcij;而工厂四个季度的总费用巾每季的生产费用与存贮费用组成，于是得线性规划：minz=15.0%,+0.2y2+14x2+0.2）’3+15.3%3+0.2夕4+14.8x4•X

5、—•y2=20-y3=20少’3+A-1=30y4+x4二100<%,<300<%2<400

6、<200<%4<10y；o,7=2,3,4.根裾合同要求，必须有：(3)设第/季度生产而用于第./季度末交货的产品数量为吨.=20,x12+x22=20，x}3+x23+x33=30,+x24+x34+^44=10•又每季度生产而用于当季和以后各季交货的产品数不可能超过该季工厂的生产能力，故应有：%,,+义12+义13+义14<30,x22+%23+又24<40,x33+%34<20,x44<10.第/季度生产的用于第y季度交货的每吨产品的费用~=名+0.2()-/),于是，有线性规划模型：minz

7、=15.0x,,+15.2xI2+15.4x13+15.6a:I4+14x99+14.2a^3+14.4x?4+15.3x33+15.5x34+14.8^s.t.x,j=20.Yp+A*”=20x13+%23+x33=30%14+A：24+x344-X44=10%,,+七2+义13+义14<30x22+x23+x24<40-^33"^34—20X44<10xij01,4;j=l，4>i.^案毛坯/i?方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9211100002.1021032102、

8、(合理下料问题)某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m、2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m,现考虑应如何下料，可使所用原料最省？解:分析：利用7.4m长的圆钢截成2.9m、2.lm、1.5m的圆钢共有如表1-13所示的8种下料方案.表卜13下料方案表1.510130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剰余料头0.10.30.90.01.10.20.81.4一•般情况下，我们可以设^142，％3，又4，又5，'，而，&分别为上面8种方案下料的

9、原材料根数.根据0标的要求，可以建立两种形式的0标函数：材料根数最少：minz=x,+x2+x,+x4+x5+%6+x7+x8（1.27）剩余料头最少：minz=O.lx,+0.3x2+0.9x3+0x4+1.lx5+0.2x6+0.8x7+1.4x8（1.28）约束是要满足各种方案剪裁得到的2.9m、2.1m、1.5m三种圆钢各自不少于100个，即2.9m:2%,+%2+%3+x4>1002.lm:2x2+x3+3x5+2x6+又7>1001.5m:x,+%3+3%