2011届高考数学直线与圆锥曲线的位置5.doc

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1、2011届高考数学直线与圆锥曲线的位置5第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2　弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3①当直线的斜率存在时，弦长公式：=或当存在且不为零时，（其中（），（）是交点坐标）。②抛物

2、线的焦点弦长公式

3、AB

4、=，其中α为过焦点的直线的倾斜角。4重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。思维方式:方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：【例1】直线=x+3与曲线（）A。没有交点B。只有一个交点。有两个交点D。有三个交点〖解〗：当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又=x+3过椭

5、圆的顶点，=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D[思维点拔]注意先确定曲线再判断。【例2】已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，且的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将的方程与椭圆方程联立，消去，得由，的取值范围是[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。【例3】已知抛物线与直线相交于A、B两点（1）求证：（2）当的面积等于时，求的值。（1）证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得在抛物线上，（2）解：设直线与轴交于N，

6、又显然令[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例4】在抛物线2=4x上恒有两点关于直线=x+3对称，求的取值范围。〖解〗设B、关于直线=x+3对称，直线B方程为x=-+代入2=4x得：2+4-4=0，设B（x1，1）、（x2，2），B中点（x0，0），则0=（1+2）/2=-2。x0=22+，∵点（x0，0）在直线上。∴-2（22+）+3，∴=-又B与抛物线交于不同两点，∴⊿=162+16>0把代入化简得即，解得-1<<0[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。【例】

7、已知椭圆的一个焦点F1（0，-2），对应的准线方程为=-，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、N，且线段N恰被直线x=-平分。若存在，求的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。〖解〗依题意e=（1）∵-=-2=，又e=∴=3，=2，b=1，又F1（0，-2），对应的准线方程为=-。∴椭圆中心在原点，所求方程为：=1（2）假设存在直线，依题意交椭圆所得弦N被x=-平分，∴直线的斜率存在。设直线：由=1消去，整理得=0∵直线与椭圆交于不同的两点、N∴⊿=422-4(2+9)(2-9)>0即2

8、-2-9<0①设（x1，1）、N（x2，2）∴，∴②把②代入①可解得：∴直线倾斜角[思维点拔]倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。三、堂小结：1、解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。2、涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式=或当存在且不为零时，（其中（），（）是交点坐标。再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。四、作业布置：教材P127闯关训练。