马尔可夫链若干性质的分析与其应用

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1、-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1Markov过程的历史与背景在现代概率论中，随机过程是由于物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等应用方面的需要而渐次发展起来的，并且在这些研究学科中显示出了十分重要的地位。所谓随机过程就是随机函数的集合，随机过程{YnT}n,∈可以视作为由变量参数n与概率空间中点w的二元函数，对∀n∈,(,)是定义在0TYnw0(ΩFP0Ynw是定义在T上的一个任意,,)上的随机变量状态，对于∀w∈Ω,(,)00的普通函数，称之为随机过程{YnT}n,∈相对应于w的一个普通样本函数，有0时也被称之为轨道或现实。当参数在wΩ中变动时便可得到了一系列的样本

2、0函数，在这里样本函数一般定义在时间域或空间域上。随机过程，是研究和某一个参数有关系的随机现象中的数量关系及统计规律的一门科学。1929年，概率论的数学基础的奠基人柯尔莫哥洛夫(A.H.Kolmogorov)开始研究随机过程，为随机过程得到更快、更深刻地发展做出了主要贡献。在1906-1912年期间，Markov提出并研究了一种可以描述某些特定的随机现象，并且可以利用数学分析方法研究自然科学过程的数学模型—Markov链。Markov创新的理论与有关知识对概率论理论研究做出了极大贡献，从而促进了随机过程论理论的诞生及其发展。为了纪念Markov所做的卓有成效的科研成果，他所研究的这种

3、随机过程又被世人称之为Markov过程。Markov过程的理论研究方面，1931年，A.H.Kolmogorov在《概率论的解析方法》一文中，第一次将微分方程与Markov过程利用数学分析方法提出，从而构建了它的基础理论的最原始的定义与性质；1951年日本籍数学家伊藤清建立了广义Markov过程的理论研究基础，为后续Markov过程的进一步研究开辟了新的发展之路；1954年前后，有学者在Markov过程的研究中将半群分析方法引入到概率论中；1950年日本著名学者角谷静夫等学者从狄利克雷问题的角度发现了布朗运动与偏微分方程的关系问题[1]。近年来，Markov链在预测自然灾害和地质灾害

4、等应用的过程中扮演了非常重要的角色，其应用深度与广度也在不断的拓展开发中，Markov链的优势------为：Markov模型并不需要探索系统动态变化的内在联系，通过正确的计算与模型的建立，转移概率在确定不需要考虑太复杂的因素的情况下，可以判断出-1-------哈尔滨工业大学理学硕士学位论文系统动态变化的规律[2]。Markov链预测方法是利用概率论中Markov链的理论与方法，学习一些传统的动态系统开发过程，并对其发展趋势预测系统的一种预测方法，利用Markov链预测结果的预测方法，具有精确性更高和科学性更强的特点，应用Markov链模型预测方法在各个领域的应用，只要适当描述系统

5、的状态，就可以利用Markov链模型做出让我们更加满意的预测[]3!1.1问题的提出随着社会资源的负担增加，水资源的需求的迅速增长，大气降水资源作为主要供应水源，因此在预测水资源过程中，为达到及时蓄水的目的，预测降雨量，作为一个国家蓄水提前预报的因素就显得越来越重要，然而由于气象条件的复杂变化性，降水过程存在着大量的不稳定因素，从而导致到目前为止还难以准确算出未来某一时段(如年、季、月等)降水量的准确数值[]4。对缓解旱情、农作物的种植及选种、缓解空气污染程度及洪涝灾害水文预报，采取具有针对性的各种措施或决策，所以降雨量预测就成为一个重要的研究课题，有着实际的社会意义[5]。1.2M

6、arkov链在降水方面的研究进展马氏链的预测研究得到了更多的人们的关注，在1953年就有学者（Brooks和Carruthers）在他们的文章中提到了某些变量（例如日照、能见度、湿度、晴雨变化等）是利用Markov链分析的，这些变量可以依照各自独有的特性来处理；其后20世纪的犹太数学家与物理学家Gabriel和Neumann从Markov链模式的角度去预测以日为时间单位的降水纪录，得到了较初步的结果[6]。分别在1964年Green和1965年Feyerherm提出了利用Markov链模式计算干燥与潮湿的气候定义，并且做出了确定的干燥与湿润程度的降雨量标准；1974年学者Katz发表

7、了关于计算湿润程度的文章，在文章中对计算概率进行了详细说明；两年后Gates和Tong重新研究了Gabriel和Neumann的以日为时间单位的降水纪录，研究认为这个逐日降水序列利用二阶Markov链可以实现目标[7]。在国内利用Markov链模型方法拟合水文气象序列的工作也很多，在1966年么枕生改进了Markov链具有的不足，基于状态考虑以往记录对现在记录的效-2-------哈尔滨工业大学理学硕士学位论文[8]果，取得了较好效果。在随后的几年中，刘得