螺旋锥束工业ct的katsevich精确重建算法分析

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重庆大学硕士学位论文用实际扫描的投影数据进行图像重建，然后对重建的图像进行三维边缘提取。本文对螺旋锥束CT的Katsevich重建公式进行了修改，研究了一种利用螺旋锥束CT获得的投影数据直接重建物体三维增强边缘的方法。通过该方法得到的三维增强边缘，可以初步判断物体内部结构的形状及类型，而且三维增强边缘重建时间与螺旋锥束Katsevich算法重建时间相当，节省了三维边缘提取的时间。关挂词:螺旋锥束工业CT，Katsevich精确重建算法，自适应混合滤波，偏移修正，增强边缘重建 英文摘要ABSTRACTCT(ComPutedtomograPhy)15thefruitbytheeomblnationofmathematies，Physies，Photoeleetricity，meehaniesandeomPuterscience，ete.11eanbeclassifiedintotwomajorPractiealfields:MediealCT(MCT)andIndustrialCT(ICT).DuringthePastfortyyears，theseanmodeofICThasbeendeVelopedintothe3DsPiraleone一beamfromtheZDParailel一beam.SPiralcone一beamICTnow15ahotsPotintheresearehingarea.ItPossessesseveralstrongPoints:notonlyithasshorterscantime，higheraxisresolutionandbetterray’5utilization，butalsoitsseanloeussatisfyneeessaryandsuffieientconditionforthe3Dexactreeonstruetion.ThereeonstruetionalgorithmsofsPiraleone一beameanbedividedintotwosorts:algebraiealgorithmsandanalytiealgorithms.Algebraiealgorithmsneediterationmanytimes，50iteostsmuehtime.TherearetwotyPesofanalytiealgorithms:exactandapProximatealgorithms.ComParedwithapProximatealgorithms，theimagereeonstruetedfromexactalgorithmsriditselfoftheinflueneeofeoneangle，andhavenoshadowintheasPeetoftheory.Also，therearemaiulytwotyPesofex解talgorithms:GrangeatalgorithmandKatseviehalgorithm.DuetohigherefficieneyofthealgorithmimPlementationandbetterqualityofthereeonstrUetedimage，thesPiraleone一beamKatsevichexactreeonstruetionalgorithmhasattractedinereasingattention.TheexactreeonstruetionrequiresthattheProjeetionsshouldbeeomPleteandwithoutnoise.Unfortunately，insPiraleone一beamICT，theProjeetionsobtainedfromthePractiealengineeringhavealotofnoise.Thenoise15eausedbymaladjustmentofsomedeteetors，disPersionandcross一talkofX一rays，ete.hiordertomeettheexactreeonstruetioneondition，thenoisedProjeetionsshouldbede一noisedortheexactreeonstrUetionalgorithmsshouldbeimProved.In而5Paper，twostrategieswereadoPtedtoredueethenegativeeffeetsresultedfromthenoisewhentheKatsevichalgorithmwasapPliedtoreconstruetthenoisedsPiraleone一beamProjeetions.ThefirststrategymainlyimProvedthederivativemethodinKatseviehalgorithm:theseeondstrategymaiulyremovedthenoiseintheProjeetionsbymeansofimProvedadaptive而xedfilter.TheeomPutersimulationsvalidatethatthefirststrategyeouldrestrainthesmallabnormalnoiseandrandomnoiseintheProjeetions，whilethesecondstrategymaybemoresuitablefortheProjeetionswithmoreabnormalnoiseandrandomnoise.InICT，theProjeetionsmaydeviatetoaeertainextentduetomanyfactors，suehas111 重庆大学硕士学位论文shiftseenterofrotation，theinconsistencyofthevertiealheightbetweentheradialfocusandthedeteCtorcenter，ete.ThereeonstrUetedimagewouldbeoutofclarityifthePracticalProjectionswereuseddirectly.InthisPaper’correetionalKatsevichalgorithmwascarriedouttodealwiththeoff-centersPiraleone一beamCT.Firslly，theexeursionoftheProjectionsweretransfonnedtotheexeursionofthedetectoreenter.Then，intheProcessofthereconstrUction，thefilteringline，re一samPling，eorrectionandbackPr6jeetionwererevisedrespeetivelyaccordingtothedetectorcenterexeursion.Meanwhile，thetraditionaldiehotomyalgorithmforealculatingPllinerootwas仃ansfonnedtothemethodofealculatingtherootoftheonevariantfunetionincourseofthebackProjeetion，whichwasalsooPti而zedbythehighorderiterativemethod.ComPutersimulationsresultvalidatethatthismethodcanredueenegativeeffeetseffieienilyeausedbytheexeursionoftheProjeetions.Atthes田旧etime，山eimProvedmethodforcomPutingtherootofthePllineeanredueethereconstrIJetiontime.IlnageedgemosdyconcludestheimPortantfeatureoftheimageandPlaysanimportantroleinreco加tion，segmentationandmeasurement.Aequ沉ngthe3DedgeoftheobjectbyICTcangenerallybedividedintotwostePs.First，areeonstructionmethod15utilizedtoreeons仃uetimagefromProjectionsachievedbyICT.Second，aextractionmethod15usedtoextract3Dimageedge.In而5Paper，the3DenhaneedimagereconstructionmethodwasinvestigatedbymodifyingthesPiralcone一beamKatsevichexaCtreConstrUctionalgorithm.Iteouldobtainthe3DenhaneedimageedgedireetlybyreconstrUctingtheProjeetionsfromICT.Bythis3Denhancedimageedge，wecanidentifytheshapeandt男姆oftheobjeetinnerstructure.Furthennore，thetimeof3Denhancedimageedgereconstnjctionalgorithm15equivalenttotheKatseviehalgorithminsPiralcone一beamICT，whichhelPstoecono而zethetimeofthe3Dimageextraction.Keywords:SPiralCone一beamICT，KatseviehExactReeonstrUetionAlgorithm，加provedAdaptiveM认edFilter’ExeursionReetifieation，EnhancedEdgeReconst川etion.IV 目录目录中文摘要...................................................................................................................................……I英文摘要..............……，............................................................................................................……1111绪论...................................................................................................................................……1LlCT及CT技术发展的概况............................................................................................……11.1.1CT发展的概况.....................................................................................................……l1.1.2CT技术发展的概况.............................................................................................……21.2课题研究的现状........................……，..........................................................……，.............……613课题研究的目的和意义.................................................................................................……71.4课题研究的主要内容.....................................................................................................……72螺旋锥束工业CT基础知识...................................................................................……92.1引言.................................................................................................................................……92.2CT成像的基础...............................................................................................................……92.2.1CT成像的物理基础.............................................................................................……92.2.2CT成像的数学基础...............................................................……，.....................……ro23精确重建的完全条件及PI线的存在性和唯一性........……，......................................……122.3.1精确重建的完全条件.............................……，.....................................................……122.3.2Pl线的存在性和唯一性.....................................................................................……142.4螺旋锥束Ka杠祀讨ch算法理论.....................................................................................……162.5螺旋锥束Katse村ch算法实现.................……，............................................................……，192.5.1算法实现的几个关键问题推导.........................................................................……192.5.2算法离散实现....................................................................................................……242.6Katse帕ch算法及扫描轨迹的发展...............................................................................……262.6.1Katsevich算法的发展.........................................................................................……262.6.2基于Katsevich算法扫描轨迹的发展...............................................................……282.7本章小结..……‘.......................................................……，................................................……303螺旋锥束Katsevich重建算法在含噪投影中的应用.............................……333.1引言...............................................................................................................................……333.2改进的螺旋锥束Ka七记vich重建算法.........................................................................……343.2.1投影数据少量异常噪声的过滤.........................................................................……343.2.2投影数据拟合求导......……，................................................................................……353.2.3仿真模型及实验结果.........................................................................................……36 重庆大学硕士学位论文3J姗旋锥束CT投影数据过滤的自适应混合滤波........................................................……403.3.1投影数据大量异常噪声的过滤二，..…，，....................……，.…，，…，....……‘.........……，.…403.3.2投影数据随机噪声的过滤................................................................................……423.3.3仿真实验结果........................................................................……，...................……，.433.4本章小结.......................................................................................................................……474偏心螺旋锥束Katsevich修正重建算法............................……，.....................……494.1引言...............................................................................................................................……494JPI线的加速求根方法...................................................................................................……4943偏心姗旋锥束Ka。祀vich修正重建算法....................................................................……534.3.1偏心螺旋锥束Cl，模型.........................................................……，.....................……534.3.2偏心螺旋锥束Katsevich修正重建算法的离散实现...........……，.....................……544.3.3仿真实验结果.................................................................……，……，.....................……564.4本章小结...................................................................……，................……，......................……615螺旋锥束CT三维增强边缘重建算法................................……，.....................……635.1引言.....................................……，.......................................................……，.....................……6352姗旋锥束CT三维增强边缘重建公式........................................................................……6353公式的离散实现...............................……，......................................……，二，.....................……655河仿真实脸结果...............................................................................................................……685占本章小结.......................................................................................................................……706结论与展望.........................................................................................……，......................……716.1研究工作总结...............................................................................................................……7162存在问题及后续工作展望......................................……，..............................................……71致谢........................................................................................……，..................................……73参考文献................................................................................................................……，..........……75附录……，..........................................................................................................................……81 1绪论1绪论1.1CT及CT技术发展的概况1.1.1CT发展的概况计算机断层成像[‘](comPuterizedTomograPny，简称CT)技术是利用具有某种能量的射线束对物体进行扫描，根据在物体外部获得的投影数据，运用特定的重建算法，以二维或三维图像的方式呈现物体内部的密度分布。它在医学领域和工业领域中均得到了广泛的应用。在医学临床诊断领域的应用中被称为是不可或缺的手段;在工业领域的应用中被称为是最佳的无损检测手段。它是自1895年伦琴发现X射线以来的重大成就之一。从多个投影数据重建图像的数学公式表示必须回溯到奥地利数学家J.Radon[2]，1917年他用数学方法证明从无限多投影数据可以复制出原来的物体，即若当变换与逆变换【’一。这个概念在1956年首先被R.N.Bracewell用于由一系列穿过太阳表面的辐射测量数据绘制太阳微波辐射分布。1956一1958年间有若干篇俄罗斯的论文将断层图像重建问题作为若当反变换问题进行了精确的描述。这些基于电视系统的论文讨论了与具体实现有关的问题并提出了完成重建的方法。虽然这些算法的效率不高，但却提供了令人满意的性能。从1940年开始，投影重建图像的努力就己经出现了，即使当时并没有得到现代计算机技术的帮助。在1940年颁布的专利中，GabrielFrank描述了现代断层成像技术的基本思想[2]。虽然按当时的方法生成的图像并不清楚，但是专利已经清晰地预想了断层成像设备的基本要求。1963年，Kuhi和Edward应用放射性同位素提出了横向断层成像方法。以后该方法进一步发展和改进成为今天的发射计算机断层成像(EcT)[2]。由于20世纪70年代以前尚未发现若当的论文，当代投影图像精确重建的数学方法是由美国物理学家布雷斯韦(R.N.Bracewell)与考马克(A.M.cormack)分别于1956、1967及1963年确定的。考马克于1963年9月及1964年10月在“JournalofAppliedPhysics”上发表了篇题为:“用线积分表示一函数的方法及其在放射学上的应用”的文章，并将这一方法成功地应用于简单的模拟装置。考马克是从1957年起在南非开普敦大学为了解决放射治疗计划中剂量的正确分布而研究这个问题的。英国EMI中心研究实验室的Hounsfield于1967年开始了第一个临床CT扫描机的研制。在研究模体识别技术的同时，他和CO~k相互独立地得到了可以由测量穿过人体不同方向的x射线数据重建人体内部结构的结论[2]。第一台实验室扫描机于1967年建成，在当时的条件下，需要九天时间才能完成数据采集，产生一幅图像。在进一步改进了数据获取和重建技术后，第一台可供临床应用的CT设备于1971年9 重庆大学硕士学位论文月安装在A面nson一Morley医院，4分半钟即可生成图像。由于他们在计算机断层成像方面所做的开创性工作，1979年，Connack和Hounsfield共同获得了诺贝尔生理医学奖。cT最引人注目的应用是在医学诊断领域[3l，其理论研究及设备制造技术在相当程度上与医学科学有关。医学上习惯将CT分为三大类:x射线透射cT(即普通CT)、发射CT(ECT)及核磁共振(NMR)CT。而工业CT根据射线源的不同可分为x射线工业cT和y射线工业CT。早期的工业检测，曾直接利用医用CT扫描设备进行。工业CT和医用CT因检测对象不同，二者在技术指标及系统结构上有较大差别，但是二者在功能组成上以及成像的原理上基本相同。因工业CT需检测的产品结构形式多样，材质密度与尺寸变化大且检测精度要求高，其技术难度远大于医用CT，而且工业CT与医用CT在结构上也有显著的区别。现代医用CT都是保持病人静止，因而都有相当庞大的装有复杂机电设备的运动部件。而工业CT大多数是使射线源及探测器系统保持静止或作少量移动，由被测工件做必要的扫描运动。由于工业CT涉及多个学科，而且重建图像的清晰程度和很多因素相关，因此它也是一个典型的高科技产品。20世纪70年代末到80年代中期，在美国，SMS公司和IDM公司利用先后推出的两个系列工业cT产品(CrrAZoo系列和IRIsTM系列)进入了美国无损检测市场。随后，美国BIR公司则推出了ACTIS、REDAPT、KAT一ACTIS系列的X射线ICT产品，加拿大原子能公司推出了AECL系列产品，日本东芝公司推出了TOSCANNER一3《X城)、40(刃以及2《拟X)系列。由此表明了工业CT这一高科技产业的迅猛发展，显示了它的勃勃生机。尽管国外在20世纪八十年代就有了工业CT产品，但他们向我国提出种种苛刻以致于无法接收的条件来限制我们。为了满足我国工业和国防建设急需，一些大学和研究单位开始了这方面的研究。1988年，清华大学的一篇关于，射线工业CT实验系统的研究”的博士论文的完成，标志了我国工业cT技术的开端[5]。1993年5月国家科委火炬计划预备项目支持的“xN一1300y射线工业CT机”终于在重庆大学诞生，它是由四川省绵阳市政府、重庆大学、中国工程物理研究院等单位组成的“西南ICT研究开发中心”负责联合研制的。该机已于1993年10月10~14日通过了技术鉴定和国家验收。鉴定指出“该机是我国首台可供实用的ICT样机，填补了我国了射线工业CT的空白”。随后包括重庆大学、清华大学在内，以及中国工程物理研究院、合肥工业大学、西北工业大学、北京航空航天大学等多家单位完成了工业CT系统的研制。目前，我国己经具备了研制、开发和生产高、中、低能工业CT机的实际能力。1.1.2CT技术发展的概况上一节简单地回顾了cT历史，本节概括地回顾近四十年来cT技术的进步l2]。 1绪论为获得重建断层图像所需要的投影数据，必须对被检测物体进行扫描，在扫描方式上，CT技术己经历了五个阶段，即五代cT扫描方式[2]:第一代CT由一支X射线管和一个晶体探测器组成。由于X射线束被准直器准直为铅笔芯粗细的笔形线束，故又称笔形束工业CT或平行束工业CT。射线源和探测器相对于被检测物体作平行步进式移动扫描以获得N个投影值，被检测物体则按M个分度作旋转运动，见图1.1。第一代CT机结构简单、成本低、图像清晰，但检测效率低，扫描时间长，在现代CT中很少采用。第二代CT与第一代CT没有本质的区别，它是在第一代CT基础上，由单一笔形束改为小张角扇形线束，由一只X射线管和3一30个晶体探测器组成。由于X射线束为5o一200的小扇形束，所以又称小扇束工业CT，见图1.2。由呈扇形排列的多个探测器代替单一的探测器，扫描时间缩短到20一905。它们的主要缺点是:在扫描过程中易产生伪影。X一raytubeDetectorDet氏totX一伯ytube甲—下理葬理易一一刊甲匕二T0总a，ar一﹁卜花二u姆招﹄o0a，己巴an幼﹃卜u目﹄u粼戈so图1.1第一代CT扫描方式图1.2第二代CT扫描方式Fig.1.1seanningsketehor13t口Fig.l.2seanningstetehofZndeT第三代cT是单射线源、大扇角、宽扇束、全包容被检测物体断面的扫描方式。对应宽扇束有N个探测器，保证每个分度取得N个投影计数，见图1.3。被检测物体仅作M个分度的旋转运动。因此，第三代CT运动单一、易控制、效率高，理论上被检测物体只需旋转一周即可检测一个断面。第四代CT也是大扇角、全包容、只有旋转运动的扫描方式，见图1.4。但它有相当多的探测器形成固定圆环，仅由射线源转动实现扫描。其特点是扫描速度J决、成本高。 重庆大学硕士学位论文Dutuct《、了图1.3第三代CT扫描方式图1.4第四代CT扫描方式Fig.1.3Seannings耽tehor3川eTFig一4seanningsketeh。f护口图1.5第五代CT扫描方式Fig.l.5SeanningsketehofstheT电子束扫描机，有时也叫第五代扫描机、EBCT或EBT，是一种多源多探测器，用于实时检测与生产控制的系统。它于1980年到1984年建造，用于心脏检查。为了“冻结，’，自脏运动，采集一套完整的投影数据必须在20一50ms内完成。图1.5是电子束扫描机的简化原理图。电子束扫描机扫描速度快，成本高，目前仅在医学上使用。在工业CT机中，最常用的扫描方式是第二代与第三代CT扫描，尤其是第三代扫描方式。这是因为它运动单一，易于控制，适合于工件直径不大的中小型产品的检测，且具有成本低、检测效率高等优点[7]。但当工件直径很大的时候，传统的第三代CT扫描就显得无能为力，此时第二代CT扫描方式就体现出它的优势。然而第二代CT扫描的时间比第三代CT长，而且冗余数据也多。后来，人们又在传统二维CT的基础上提出了单排螺旋CT，单排螺旋CT不仅 1绪论可以提高扫描速度，同时由于它的扫描是一个连续的过程，因而可以明显改善重建图像的三维效果。螺旋CT经历了几次大的革命性进步[7]。第一次是1989年在CT传统旋转扫描的基础上，采用了滑环技术和连续进床技术，从而实现了螺旋扫描(helicalorspiralCT)。第二次是1998年多排螺旋cT(MDcTorMscT)的问世，使得机架球管围绕人体旋转一圈能同时获得多幅断面图像，它的真正价值在于较之于单排螺旋CT，多排螺旋CT大大提高了扫描速度。第三次是20()4年在RSNA上推出的64排螺旋CT，又称容积cT(volumeCT)，开创了容积数据成像的新时代。以ls单器官、55心脏、ros全身的检查速度，几乎同时实现了扫描速度、覆盖范围和图像质量的改善。第四次是2005年在RSNA上推出的双源螺旋cT(DSCT)。DSCT改变了目前常规使用的一个X球管和一套探测器的CT成像系统。通过两套X射线球管系统和两套探测器来采集数据，这种简单而具有创造性的设计，突破了目前常规CT的局限性，实现了单扇区的数据采集，在得到良好的图像质量的前提下，大大提高了心脏扫描的时间分辨率。目前商业化的多层螺旋cT机仍然采用扇束扫描机制[8]。随着面阵探测器的出现，螺旋锥束CT进一步提高了射线的利用率，它可以一次重建出几百幅甚至上千幅图像，而且层间距可达到0.1~，大大提高了检测的空间分辨率，见图1.6。图1.6螺旋锥束CT示意图Fig.l.6SPiraleone一beamCTsystem 重庆大学硕士学位论文1.2课题研究的现状螺旋锥束CT不仅扫描时间短、射线利用率高、轴向分布均匀，而且它容易解决“长物体问题”l9]，其射线源扫描轨迹满足精确重建的完全条件[’0]，自问世以来一直是人们研究的课题。螺旋锥束cT重建算法主要分为两类:迭代算法〔”，’2〕和解析算法。迭代重建又称为直接重建，其特点是:适合于不完全投影数据的图像重建，重建质量好，尤其是在投影数据较少时;重建图像的密度分辨率高，能保证较好的空间分辨率;抗噪性好;另外还可以结合一些先验知识进行求解。其不足之处在于迭代重建的计算量大、重建时间长。而解析算法具有较快的重建速度，并且占有较少的内存资源，因此成为螺旋CT系统中的主流算法。螺旋锥束cT的解析重建算法主要分为两类【’3]:近似重建算法和精确重建算法。在众多的螺旋锥束近似重建算法11引6]中，以FDKI’61算法最为成功。FDK算法由L.A.Feldk别旧p〔’刀创立，起初的扫描轨迹为单圆，为了解决“长物体”问题，G.wang首先将单圆的扫描轨迹拓展到螺旋。由于FDK重建算法数学上简单、实现起来容易，而且当锥角比较小时，能够取得较好的重建效果，所以目前在实际中得到广泛应用。FDK算法是二维扇形束滤波反投影算法在三维中的推广【’“]，并没有严格的理论推导，其理论的近似性决定了其内在的缺点:重建图像的质量和锥角的大小相关，远离中心层的图像伪影较重。XiangyangTang等[’9一231针对上述问题进行了研究，对螺旋锥束FDK算法进行了改进。1983年，Thyl24〕首次给出了实用的锥束逆变换公式，并提出精确重建的充分条件，解决了从何种源点轨迹能得到完全的投影数据这一问题;随后S而th提出并证明精确重建的充分必要条件，并在此基础上出现了三种不同的精确重建方法。RGrangeat[25】发现了锥束投影和Radon变换导数的关系，给出了基于Radon变换导数的精确重建方法;1994年，M.Defrise和R.clack[26]概括了各种精确重建方法的数学一致性，同时给出了基于Radon变换导数的精确重建方法，H.Kudo和T.s越to[27]也发现T类似的方法;1995年，De而eleoson等采用凡urie:方法[281或新的重排方案[29】对Grangeat算法作了一些改进，降低了复杂性，增强了重建效果。这些精确重建算法主要是依赖于锥束投影变换和Radon变换的一阶导数的关系，虽然重建图像的效果较好，但是计算量太大【’2]，在实际工程应用中未能得到广泛的应用。2002年Katsevich首次提出了一种螺旋锥束滤波反投影精确重建算法1351，此算法弥补了FDK算法和Grangeat算法的缺点:首先它是一种滤波反投影重建算法，因此重建效率较高;其次它是一种精确重建算法，其理论的精确性保证了重建图像的质量较好。目前，Katsevich算法已被推广和改进(详见2.6)。 1绪论1.3课题研究的目的和意义工业CT是计算机断层扫描技术的工业应用，目前也是一项发展飞快的技术。由于工业CT的检测特点是不受试件材料种类、形状结构等因素影响，成像直观、分辨率高，尤其在检查复杂的构件方面显示了特有的优势。因此在航天、航空、兵器、电子、汽车制造、材料研究、海关、考古等领域得到广泛应用。近年来，随着世界经济的发展，对检测行业的要求越来越严，无损检测仪器的应用范围也越来越广。我国是无损检测仪器的应用大国，随着国民经济的飞速发展，工业CT的需求也迅速增加。由于螺旋锥束CT不仅扫描时间短、射线利用率高、轴向分布均匀，而且它容易扫描长物体，其射线源扫描轨迹满足精确重建的完全条件。这些优点使得开发具有自主知识产权的螺旋锥束工业CT系统成为一种必要。而在螺旋锥束工业CT中，图像重建的算法是较为关键的环节。螺旋锥束CT精确重建算法主要分为两类:Grangeat算法和Katsevich算法。与Grangeat算法比较而言，Katsevich算法更容易实现，数据的存储量相对较少，并且是一种滤波反投影算法，这种算法目前被广为研究。精确重建要求投影数据齐全、不含噪声。可在实际的锥束螺旋工业CT中，由于部分探测器失调[2]、散射[3叼’]、串扰[32一33]等原因，可使获得的实际投影数据含有大量的噪声，因此有必要改进螺旋锥束Katsevich精确重建算法或对投影数据过滤，减小噪声对重建图像的影响;其次，在实际的螺旋锥束工业CT中，由于射线源焦点与探测器中心的水平高度不一致以及转心偏移等原因，使获得的实际投影数据发生了不同程度的偏移。如何改进螺旋锥束Katsevich精确重建算法使其适用于偏心的螺旋锥束工业CT系统也是实际中需要解决的问题。本文的研究目的是根据螺旋锥束工业CT的特点，改进新近发展起来的螺旋锥束Katsevich精确重建算法，使其尽可能地应用到实际的螺旋锥束工业CT系统中。1.4课题研究的主要内容本文以螺旋锥束Katsevich精确重建算法的改进作为研究课题。本论文的主要研究内容包括:(l)确定本课题的研究内容。第一章介绍了课题研究的背景，综述了CT及其发展历史、CT技术的发展和三维螺旋锥束CT的研究现状，确定了本课题的研究内容。(2)本课题研究的基点是三维螺旋锥束CT的Katsevich精确重建算法。为此，第二章首先介绍了cT成像的物理和数学基础;其次介绍了精确重建的完全条件、PI线的存在性和唯一性;最后介绍了本文研究的基础一Katsevich算法及其扫描轨迹与重建算法的发展。 重庆大学硕士学位论文(3)精确重建要求投影数据齐全、不含噪声。可在实际的锥束螺旋工业CT中，由于部分探测器失调、散射、串扰等原因，获得的实际投影数据含有大量的噪声。因此需要改进精确重建算法或对投影数据降噪，最大可能地满足精确重建条件。对含噪的螺旋锥束投影数据利用Katsevich精确算法进行重建时，第三章采取了两种策略来减少噪声对重建图像的影响。第一种策略主要是对Katsevich算法中的求导方法进行改进;第二种策略主要是采用一种自适应混合滤波技术对投影数据降噪。(4)在实际的螺旋锥束工业CT系统中，由于射线源焦点与探测器中心的水平高度不一致以及转心偏移等原因，使获得的实际投影数据发生了不同程度的偏移。如果直接利用偏移的投影数据进行图像重建，得到重建的图像与理想的图像相差较大。第四章研究了一种偏心的螺旋锥束Katsevich修正重建算法，以适应偏心的螺旋锥束CT成像系统。其中，在反投影重建图像的过程中，对PI线求根的方法进行了优化。(5)图像的边缘往往包含了图像的重要特征，在图像的识别、分割、测量过程中具有重要的作用。第五章对螺旋锥束CT的Katsevich精确重建公式进行了修改，得到了一种利用螺旋锥束CT获得的投影数据直接重建物体三维增强边缘的方法。(6)在第六章对本课题的研究成果和创新之处进行总结，分析存在的一些问题，对今后进一步研究指明方向。 2螺旋锥束工业CT基础知识2螺旋锥束工业CT基础知识2.1引言CT是利用具有某种能量的射线束对物体进行扫描，根据在物体外部获得的投影数据，运用特定的重建算法，以二维或三维图像的方式呈现物体内部的密度分布。Radon变换是所有重建方法都要涉及的基本数学变换之一。本章结合CT成像的过程，介绍了二维CT成像的物理和数学基础、精确重建的完全条件、PI线的存在性和唯一性、螺旋锥束Katsevich精确重建算法的理论及实现、Katsevich算法的发展以及基于Katsevich算法扫描轨迹的发展。2.2CT成像的基础2.2.1CT成像的物理基础cT的物理原理是基于射线与物质的相互作用。当一定能量的射线(2或x射线)穿越物体时，由于产生光电效应、康普顿效应及电子对效应等物理过程，射线(也即入射光子)被物质吸收，使得射线强度发生衰减。假设输入X光子是单能的，在均匀材料入射和出射两边测量X射线强度，如图2.1所示，根据Lambert一Beer定律[21，I=Ioe一‘故(2.l)其中，10是入射X射线强度，I是出射X射线强度，公是厚度，粼是材料的线性衰减系数。由等式(2.1)可知，声值高的物体比粼值低的物体使x光子衰减更多。例如，骨的粼比软组织的高，表明x光子穿透骨比穿透软组织更困难。另一方面，空气的粼值几乎为。，说明在穿过空气的路径上，x射线输入和输出几乎没有改变(实际上，由于多种物理因素的影响，输出略有改变)。一切，+对:手千声乃△丫声声长长声未222声1333声未礴礴\l，刀刀图2.1均匀物质对单能x射线的衰减图2.2非均匀物质对单能x射线的衰减Fig.2.1AttenuationofsingleenergyX一ayFig.2.2AttenuationofsingleenergyX-rayininCVCllmatt盯n0D一VCnmattCr 重庆大学硕士学位论文现在考虑非均匀物体(物体由多种具有不同衰减系数的材料组成)。总体衰减系数特性可通过将物体分割成小单元来计算，如图2.2所示。当单元尺寸足够小时，每个单元可以看作一个均匀物体。对每个单元，等式(2.1)能有效地描述入射和出射X射线强度。在观察一个单元出射X射线束流是相邻单元入射X射线流时，等式(2.1)以级联形式重复应用。数学上，它可以表示如下I’，2]:I二几e一I，l‘&e一灼’公e一灼’&…e为，公一艺，。.，U=Ioe’二，(2.2)如果等式(2.2)两边除以10，并取负自然对数，得到(2.3)一吩一敷、当公趋于0时，上面的累加变成在物体长度上的积分[1，21_1.r(2.4)“一in哺，一五娜等式(2.4)中的p是投影测量值。在实际的工业CT中，10常取穿过空气的射线强度计数值，I取穿过物体后某射线的强度计数值，由此计算出某射线的投影测量值p。等式(2.4)说明，入射x射线强度与出射x射线强度之比经对数运算后，表示沿X射线路径上衰减系数的线积分。CT重建的问题现在可以表述如下:给定一个物体被测量的线积分，如何估计或计算它的衰减系数产，从而了解物体内部的密度分布。2.2.2CT成像的数学基础①Radon变换与Radon逆变换奥地利数学家Radon于1917年证明可以用二维图像的各个方向的一维投影数据来重建二维图像，他提出了一种被后人称为Radon变换的投影变换。Radon变换是一种直线积分的投影变换，它的定义有多种形式，但它们的基本意义相同。如图2.2所示，直线l是口一习平面内任意一条直线，P是原点到直线l的距离，则二维Radon变换[’]为，(P，角一夕(x，，)dl一Ij(;，6)dl·厂厂f(x，，)命cos刀+，sin刀一P)娜(2.5)其中(x，y)是像素点的直角坐标，(r，6)是像素点(x，力的极坐标，刀表示旋转角，次x)为采样函数，f(x，y)或入;，6)表示图像中像素点(x，力(或(r，8))的灰度值(对应于断面内点(x，y)处的密度)。二维Radon逆变换[’】为(2.6)了(x，，，一，(;，。，·去乙I’犷亡孺，~~漏甘、~瑞户碑，二护尹熟~护尹刚其中二·;cose，，一;sin。，;一了不丁‘，，一二cos刀+，sin刀。 2螺旋锥束工业CT基础知识(2.5)、(2.6)式中各参量的意义见图2.3。召/心，图2.3二维Radon变换Fig.2.3ZDRadontransform因此，如果知道物体内某点(x，y)所有方向的投影川P，户，可用公式(2.6)重建出函数f(x，力，这正是CT重建的理论基础。②中心切片定理图像重建问题实际上就是如何由投影数据解出成像平面上各像素点的衰减系数值。由投影重建图像的重要依据就是Fourier切片定理，又称中心切片定理或投影定理【’](centralslieeThcorem)。在非衍射源情况下，其内容为:某图像f(x，力在视角为刀时投影P(p，刀)=p川xr)的一维Fonrier变换，给出f(x，y)的二维Fourier变换F(u，v)的一个切片。切片与“轴相交成刀角，且通过坐标原点。图2.4给出了该定理的一个示意图。1D11F()uriertransformmm，..，11..1[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]〕〕护场场ZZZD犷。u了iertl·ang仆l·mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm图2.4傅立叶切片定理示意图Fig.2.4Fouriereentralslice 重庆大学硕士学位论文如果将投影函数p刀(x;)作一维傅立叶变换，就可以得到其在频域中对应的一维变换函数凡(哟。同时，如果将密度函数f(x，力作二维傅立叶变换，就可得到其在频域中对应的变换函数F(u，v)，此频域函数也可用极坐标的形式表示为F(aJ，刀)(其中u=OJcos刀，v一“s‘n刀)，则今(叼一F(以角}。定〔，’。傅立叶切片定理将F(aJ，刀)与凡(叨联系在一起，它指出111:密度函数f(x，力在某一个方向上的投影函数p刀(xr)的一维傅立叶变换函数凡(叼是原密度函数了(x，y)的二维傅立叶变换函数F(oJ，刀)在(oJ，刀)平面上沿同一方向且过原点的直线上的值(切片)。2.3精确重建的完全条件及PI线的存在性和唯一性2.3.1精确重建的完全条件在CT技术从医用向工业领域扩展的同时，三维图像重建的理论体系逐步确立起来。锥束精确重建完全条件的发现为三维精确重建的可行性提供了依据，使得精确重建成为当今图像重建领域的研究热点。完全条件是说明精确重建能力的重要概念，它回答了从何种源点轨迹能得到完全的投影数据这一问题。Thy，S而th，Grangeat等基于各自的工作得出了一致的结论l’”】:如果与物体相交的每个平面上至少存在一个锥束源点，则该物体可被精确重建。以下列举了几种满足完全条件的源点轨迹[34]。设X，Y，Z为空间直角坐标系的三个轴，O为坐标原点，三维空间中的点用j=(x，，xZ，x3)表示，f(习是被重建的物体。假设f(习的支撑是以原点为圆心、半径为R的球，}，卜R。锥束源点的运动轨迹可描述为:帆幻=(妈(幻，pZ(幻，仇(幻)兄EA。这里兄是表示源点位置的参数，A是之的变化域。①垂直双圆两个圆分别位于丫口Z平面和义口Z平面中，圆心重合于原点且半径均为d，见图2.5。扫描轨迹的参数方程为:f(o，Jeos兄，dsin兄)O三兄<2万(2.7)似‘，一飞(‘sin‘，o，dcos“，2兀三兄<4兀②垂直的圆一单直线长度为2a的线段垂直于y口Z平面内半径为d的圆，见图2.6。扫描轨迹的参数方程为:(0，deos兄，dsin兄)0三兄<2万帆兄)={(兄一a一2才，d，0)2万三兄三2兀+Za(2.8) 2螺旋锥束工业CT基础知识图2.5双圆扫描图2.6圆加直线扫描Fig.2.51场0eirelesorbitFig.2.6Cirele一Plus一lineorbit③垂直的圆一双直线两条长度均为Za的线段垂直于F口Z平面内半径为d的圆，见图2.7。扫描轨迹的参数方程为:‘!l了s、(e0，deos兄，dsin兄)0三兄<2兀尹‘产、兄、户、.一一(兄一a一2尤，d，0)2才兰兄三2尤+Za(2.9)(兄一a一4厂，0，d)4万三兄三4尤+Za④两个平行圆和直线两个半径为d的圆对称地位于物体的上下两侧，与X轴平行且长度为2a的直线把两圆连接起来，见图2.8。扫描轨迹的参数方程为:哎rlw、(!ea，deos兄，dsin兄)0三兄三2万例兄一一(一a，deos兄，dsin兄)2厂三兄<4兀(2.10)(兄一a一4万，d，0)4兀三兄三4尤+Za图2.7圆加双直线扫描图2.8两个平行圆加直线扫描Fig.2.7Circle一Plus一two一lineothitFig.2.8护P胃。一ircle一Plus一lineorbit 重庆大学硕士学位论文⑤螺旋线长度为ZL，M折的螺旋线位于半径为d的球面上，见图2.9。扫描轨迹的参数方程为:帆兄)=(dsln兀，一deos沁，s一.n(—材刀dsin兄、)，一d二cos滩cos(—材刀dsin之、)、)(2.11)LL其中，一sin一，(L/d)‘兄‘sin一，(L/d)甲y▲leeeeeesesraweseesesees2L图2.9螺旋扫描Fig.2.9SPiralothit2.3.2PI线的存在性和唯一性首先，X，Y，Z为空间直角坐标系的三个轴，O为坐标原点。三维空间中的点用无二(x，，xZ，x3)表示。螺旋扫描轨迹描述如下:C一=1『夕任筑一，，·ly，=R一eos(-s-)，夕，=R一si.n(s一)，夕、=任s二h，全，h_>0_，R_>O(2.12)2才J其中R为螺旋线的半径，h为螺旋线的螺距，:为旋转的角度(与x轴正向的夹角)。集合U为一开集，严格位于螺旋线的内部，被扫描物体可用集合万来表示。且:万二{*。，31对十‘、;2，典乙兀、、、禁乙万}0s，(劝，且s，(牙)一s，(又)<2汀。 2螺旋锥束工业CT基础知识图2.10Pl线Fig.2.10Plllne定理:对于螺旋线内部任意一点无，有且只有一条Pi一Lin。经过此点【‘4，35]。证明:该命题等价于证明存在唯一的一组s石，s，，‘使得:xl=Rtcoss，+R(1一t)coss，(2·14)x:=Rtsins，+R(1一t)sins，(2·15)hhX;=—ts‘+—(l一t)S，(2.16)2万一2汀’其中，o<;<1，0<，一，‘<2二。令h二=上，则有:乙万x3=h、ts，+气(1一t)s，(2.17)通过极坐标转换，得到(x，，xZ，x3)=(;cos芬，;sin芬，x3)，代入上面有:reos(芬)=Rtcos(s，)+R(l一t)eos(s，)(2.18)rsin(芬)=Rtsin(s。)+R(l一t)sin(s，)(2.19)x3=h，ts，+h*(1一t)s，(2.20)由(2.18)、(2.19)可以得到:reos(芬)一Rteos(s，)=R(1一t)eos(s，)(2.21)rsin(芬)一Rtsin(s，)=R(l一t)sin(s，)(2.22)由(2.21)、(2.22)得到:RZ一rZt(xl，x:，s，)2尺[尺一;eos(杏一s，)l由(2.18)、(2.19)又可以得到:reos(芬)/R=teos(s，)+(1一t)eos(s，)(2.23)rsin(芬)/R=tsin(s，)+(l一t)sin(s‘)(2.24)由(2.23)、(2.24)得到: 重庆大学硕士学位论文__2co“，:一，合，=【令一‘’一‘，一t)2]z(Zt一2r2)_有’“05(_一s‘(=x，‘.布x，.一5‘)一一s‘_)-;sin(芬一s。)(2.25)RZ+rZ一ZRreos(芬一s。)由螺旋线定义可知，螺旋扫描轨迹的函数表示形式具有连续可导性，可以推出s，(x。，，。，s。)任C’，t(x。，夕。，s。)任c’。代入公式(2.20)得到:戈3(xl，xZ，s。)=h。sot(x;，xZ，s。)+h*s，(x:，xZ，s。)(1一t(x，，x:，s，))(2.26)则上述命题成立等价于存在唯一的一组s。，s，，t使得:分3(xl，xZ，s。)=x3(2.27)由”<气一、<2‘，联合公式(2·26)可知:才级戈3(x，，xZ，’，)一<‘3，把戈3(xl，xz，sa)一>xs，又交3(xl，xz，s&)为连续函数，则由根的存在性定理可知，交3(xl，xZ，s，)=x3有解。(2.25)因为s，(x，，xZ，s，)任C’，t(x，，xZ，s，)任C’，则交，(x，，xZ，s。)任c’。将公式(2.26)的两端对凡求导，得到:d(凡(凡，凡，凡)一凡)_‘，，__、dt.‘.，，‘、么(2.29)—而一一一‘、、、“”一“’而甲‘甲、’一‘’而dt(x，，x:，s，)S‘一S‘易知_二二弓‘‘~U~‘t一.口ds，(x，，凡，s。)_(2.30)dsbdsb1一t将公式(2.30)代入到公式(2.29)中，得到:d(凡(x，，凡，凡)一凡)凡一凡dsb=Zhht(l一2‘。u~，‘一s，气一丁凡一、，、尸nu，nu、，J_t一J_b、，，‘儿一，气，‘·，J1i、)乙由公式(2.31)可知，交3(x，，xZ，s，)一x3为单调递增函数，结合公式(2.27)，故有且只有一组s。，s，，t使得:交3(xl，xZ，s。)=x3，证毕。2.4螺旋锥束Katsevich算法理论首先，X，Y，z为空间直角坐标系的三个轴，o0为坐标原点。螺旋线扫描轨迹定义如下:C_=t，y任代_、一.!yl=入_cos(，s、)，yZ=大_sl.n(s、)，y，=二s二h一，5EK_l、，h.>UZ军其中，R>0为螺旋线的半径，h>0为螺旋线的螺距，s为旋转的角度(与空间直角坐标系X轴正向的夹角)。物体F严格在螺旋线的内部，且:F剑胜护!才+才夕，}0<;v。。将数据。(，)(s、，s。_，u。，、_，.)和数据。(3)(s*，s、:，u.，v;_，二)利用双线性插值得到数据。(s^，“。，v。)。③反投影重建图像根据公式(2.72)，将滤波后的数据。(s*，“二，气)反投影。反投影公式如下:J，，气人二、少_一一二山一下导/一侧-—sk，下“二(一sl一，习叮一，二v下(凡一一，一动一一(2.103)z尤一或!x一y(s*)!其中u(s*，无)=D(无一夕(s*)).d，_D(一凡sin(sk)+xZeos(s*))(无一夕(s*)).d3R一凡eos(s*)一xZsin(sk)D(x3一hs)v(凡，习_D(无一夕(s*)).dZ_(2.104)(无一夕(sk)).d3R一xleos(sk)一xZsin(s*)为了减少重建图像中出现的伪影【4D]，公式(2.103)可以转换如下:山北吉，。(s*，u(sk，无)，v(s*，无))兄(k)不【X，二二一一--气犷夕(2.105)2“*牟l}，一，(s*)}其中:.5凡’k二瓦一10·5+凡一0.5凡’k=凡=s*，一s，(无)山兄(k)=k。+1‘k‘k，+1(2.106)s，(无)一s*:O·5+凡一0.5凡Zk=无;凡=山.5凡，k=k，+1 重庆大学硕士学位论文(u(s*，习，v(s*，习)为射线源y(s;)与无的连线和探测器平面的交点，在探测器坐标系内的坐标。}，一只s*)}表示射线源到物体内一点，的距离。k，，k，为由s。(习和s，(无)所决定的分度，且满足s(‘一1)0_不妨，、令，，尺(s)=尺。+毕R。，，尺。=90，尺、=30，见__图2.1602刃②变螺距的不规则螺旋根据bolus一chasingeT的实际需要，Katsevieh[5‘]以及孔zou[52]等人将标准的螺旋推广到了变螺距的不规则螺旋，其扫描轨迹描述如下:C={夕。R，}夕，=Reos(s)，夕2=Rsin(s)，夕，=笋(s)，soR};(2.127)且梦(s)需满足:梦，(s)+梦加(s)>o。不妨令，梦(s)=hos，，R=400，h0=1.6，见图2.17。图2.16半径变化的不规则螺旋图2.17变螺距的不规则螺旋Fig.2.16NonstandardsPiralofvariableridiusFig.2.17NonstandardsPiralofv硕ablePiteh③变螺距、变螺旋半径的不规则螺旋根据electron一beame刃而ero一eT和bolus一ehasingCT的实际需要，Ge认/ang等人又把标准的螺旋推广到了变螺距、变螺旋半径的不规则螺旋[53，541，其扫描轨迹描述如下:C={夕。尺”}夕，=尺(s)eos(s)，夕2=R(s)sin(s)，夕，=班(s)，5ER}(2.118) 重庆大学硕士学位论文满足条件:R(s)>o，梦‘(s)+梦口(s)>o。见图2.18。不妨令，:(:)一单O万，+琴艺，班(:)一婴乙兀:，图2.18半径、螺距均变化的不规则螺旋图2.19马鞍线Fig.2.18NonstandardsPiraiofvariableridiusandPitehFig.2.19Saddleeurve④马鞍曲线然而根据cardiacimaging的需要，JedDPack等人提出了马鞍曲线〔48]的扫描轨迹。马鞍线的参数形式可以用以下两个集合的交集(S，U52)进行描述，集合S:、又分别为S，={(x，y，;).2=f(x)}，52={(x，y，z)12=g(y)};f(x)和g(y)为二次连续可导的函数，且满足:f口(x)>o，f’(0)=0，f(0)<0g’(夕)<0，g夕(0)=0，g(0)=一f(0)x，y，z〔R。令，c={夕。R，!夕，=Reos(s)，夕2=Rsin(s)，，，=heos(25)，soR}(2.119)其扫描轨迹见图2.19。⑤其它扫描轨迹针对Katsevich类型算法，除上面提到的改进扫描轨迹外，还有其它扫描轨迹的改进方式，如Hengyongyu提出的不规则的马鞍线[55〕，Pan等人提出的倾斜螺旋及马鞍线扫描轨迹【561;Katsevich提出的圆加直线的扫描轨迹157】;Tingliangzhuang等人提出的垂直双圆的扫描轨迹[58】;、傲n沙。Ye等人提出的任意扫描轨迹159·网。2.7本章小结本章对螺旋锥束CT重建的基础知识进行了简单的描述。首先对二维CT成像的原理做了数学和物理上的描述，介绍了二维Radon变换和中心切片定理;其次 2螺旋锥束工业CT基础知识介绍了精确重建的完全条件以及PI线的存在性和唯一性;然后重点介绍了最新的锥束螺旋锥束Katsevich精确重建算法的理论和实现;最后介绍了Katsevich算法的发展以及基于Katsevich算法的扫描轨迹的发展。 重庆大学硕士学位论文32 3螺旋锥束Katsevich重建算法在含噪投影中的应用3螺旋锥束Katsevich重建算法在含噪投影中的应用3.1引言三维锥束螺旋工业CT是在二维工业CT和多线阵螺旋工业CT基础上发展起来的新型无损检测技术，它不仅具有射线利用率高、轴向分辨率高、扫描时间短等优点，而且它的扫描轨迹满足三维CT精确重建的完全条件。但由于三维螺旋锥束工业CT使用高密度面阵探测器，难以像二维工业CT或多线阵螺旋工业CT那样进行射线的准直和隔离。因此，在工业CT特别是锥束工业CT中，由于探测器失调[2]、散射130一3’l、串扰[32一33]等原因会导致获得的实际投影数据含有大量的噪声。如果直接利用得到的投影数据进行重建，得到的图像可能不清晰，甚至不完整。利用国际上新近发展起来的螺旋锥束Katsevichl36]精确重建算法进行图像重建，重建图像的质量不受锥角的影响，而且图像重建的效率较高。但此算法需要计算投影数据的导数，如果直接对含噪声的投影数据进行求导，这样会使求导后的投影数据有较大的偏差，重建的图像可能严重失真。因此需要改进重建算法或在重建之前对含噪投影数据进行滤波预处理。传统的中值滤波和均值滤波可有效抑制图像中的脉冲噪声和随机噪声，但是这两种滤波方法都是一致地应用于整个图像，而没考虑图像的各部分像素是否受到污染。因此，可能破坏图像的一些重要细节。为了克服传统中值滤波和均值滤波的不足，一些学者提出了多种改进方法。针对中值滤波的改进有基于而nmax算法的改进中值滤波[6l]、迭代中值滤波[62l、递进开关中值(PsM)滤波163]、自适应开关中值(AsM)滤波[64]以及基于模糊指标改进的自适应中值滤波165〕等。针对均值滤波的改进有改进均值滤波(MTM)l66]、自适应中心加权的改进均值滤波(AcwMTM)[07]以及非线性滤波[68]等。除此之外还有一些其它的去噪方法，比如小波方法[69]、脊波方法[70]以及神经网络方法17’]等。以上介绍滤波算法的用途基本上都是针对图像噪声的。图像脉冲噪声的最大特点是其对应的灰度值一般是图像像素值的最大值或最小值;而随机噪声的最大特点是，不管原图像的直方统计分布图是怎样的，噪声发生的概率密度有多大，但最终被污染后的图像的直方统计分布图大多近似服从高斯分布172]。工业cT投影数据的噪声与图像中的噪声有些不同:(一)受异常噪声污染的投影数据的最大值可能是理论上不受污染的投影数据的最大值的几倍;(二)投影数据上的随机白噪声[73]重建后可能转化为图像数据上的非白噪声。当投影数据受噪声污染较严重时，如果不对投影数据进行预处理而直接重建，则会增大重建图像后处理的难度。本章在对含有噪声的投影数据进行螺旋锥束Katsevich算法[36]重建时，采取了 重庆大学硕士学位论文两种策略来减少噪声对重建图像的影响。第一种策略:利用改进的螺旋锥束Katsevich算法对含噪的投影数据进行重建。改进的螺旋锥束Katsevich算法分为两部分:一是利用改进的中值滤波对投影数据少量异常噪声进行过滤;二是在螺旋锥束Katsevich算法求导的过程中，利用拟合求导的方法取代了标准重建算法中的直接求导。仿真实验结果证实，这种改进算法对投影数据中含有少量的异常噪声和随机噪声具有较好的抑制作用，使得重建的图像具有较好的效果。第二种策略是将图像去噪的思想应用于三维投影数据的去噪中，并根据投影数据噪声的特点，研究了一种自适应混合滤波算法。这种滤波算法在滤除投影数据异常噪声时，采用了自适应扩大滤波窗口的方法;在滤除投影数据随机噪声时，采用了自适应选择闽值的方法。然后对滤波后的投影数据使用螺旋锥束Katsevich算法进行图像重建。计算机仿真实验证实，该方法不仅有效地滤除投影数据中的混合噪声，而且滤波后重建图像的质量明显优于传统中值和均值滤波后重建图像的质量。3.2改进的螺旋锥束Katsevich重建算法3.2.1投影数据少量异常噪声的过滤以探测器的中心口为坐标原点，探测器的横向为U轴、纵向为V轴，建立探测器坐标系UOv。设获得的螺旋锥束投影数据为g(s*，“.，v。)，o‘kmax{xt(;)}(3.1)or而n{(xi(，)一x(;))}>x(r))x(t)=median{x‘(t)}，i=l…只(3.2)其中median表示中值滤波。在对边界的投影数据滤波时，需要作延拓处理。改进的中值滤波仅仅是对异常大或者异常小的投影数据进行处理，其余投影数据不进行处理。如果投影数据不含异常噪声，改进的中值滤波对投影数据基本不作任何处理，提高了噪声过滤的准确性，从而保证了重建图像的精度。3.2.2投影数据拟合求导设选取拟合的点的个数为R+1(R+1为奇数，为计算简便有效设为5)，要拟合的多项式的次数为r(;0为螺旋线的半径，h>0为螺旋线的螺距，:为旋转的角度(与X轴正向的夹角)。设重建的物体是半径为;，高为H的圆柱，圆柱的中心位于坐标原点。螺旋线的半径为R，R>;，无二(凡，凡，毛)为待重建物体中的任意一点，见图4.1。根据PI线的定义(见2.3.2)，有:xl=Rtcos(s，)+R(l一t)eos(s，)(4.1)xZ=Rtsin(s，)+R(l一t)sin(s，)(4.2)hhx3二一~ts、+廿二(l一t)s，(4.3)2才“2万’其中，0O为螺旋线的半径，h>0为螺旋线的螺距，、为旋转的角度(与x轴正向的夹角)。月︸飞六︸叱巴勿妞﹄二，图4.2偏心螺旋锥束投影的直角坐标图Fig.4.2Cordinatesystemforoff-eentersPiraleone一beamProjection如图4.2所示，理想情况下，从射线源焦点作旋转轴中心线的垂线，该垂线与面阵探测器垂直相交，交点记为口，此时O点恰为面阵探测器的中心。以O为原点，探测器横向为U轴、纵向为V轴建立直角坐标系U口V。而在实际的锥束工业CT中，由于旋转台中心的偏移，从射线源焦点到旋转中心线的垂线不再经过面阵探测器的中心，此时交点记为d点。以d为原点，探测器横向为右轴、纵向为护轴建立直角坐标系赫护，设d点在坐标系uov下的坐标为(hu，hv)，其中气为探测器中心的横向偏移量，hv为探测器中心的纵向偏移量。探测器横向第m个单元和纵向第。个单元在坐标系uov下的坐标为(u二，v。)，在坐标系赫护下的坐标为位二，右。)，其中00为螺旋线的半径，h>0为螺旋线的螺距，、为旋转的角度(与x轴正向的夹角)。物体F位于螺旋线的内部，且: 重庆大学硕士学位论文Fg{无。尺，l凡，+凡，‘r，}o(凡s口，um，艺心M。天碑户p“一Lin。进行Ramp滤波:，二)沿。‘，)(s*，s。，u，，v;，。)“。‘，，(s*，s、，u补v，，二)H*一:(u二一u二)(5.17)在此步骤中，斜坡滤波取代了螺旋锥束Katsevich算法中的Hilbert滤波。利用斜坡滤波可以增强边缘信息;而沿着儿叩pa一Lin。滤波，可以去除螺旋伪影。3)校正及向后重排结合2.5.2节，将变换得到的数据砂伙s*，s;，“二，va，二)进行校正并得到数据:(5.18)。(3)(·*，·。，·二，·。，二卜竺书竺上述。(2)(·*，·;，·二，·;，。)向后重排:将得到的数据。(，，(凡，s;，u二，、，，)向后重排成中(s*，u二，v。)重排方法见2.5.2。图5.5螺旋锥束投影的笛卡尔坐标系Fig.5.5DescarteseoordinatesystemofsPiraleonebeamProjection 重庆大学硕士学位论文③反投影重建图像将滤波后的数据。(s*，“，，咋)反投影得到三维图像增强边缘:e心e(f(无))“_兰勺分生2导‘曰}，一，(乓)}(5.19)‘，‘k=七b其中，u(sk，习=D(无一夕(s*)).d:D(无一夕(s*)).dZ(5.20)v(乓，无)(无一y(s*)).d3(无一夕(s*)).d3矢量d3垂直于面阵探测器、d:平行于面阵探测器的纵轴v、d，平行于探测器的横轴，且射线源焦点与面阵探测器围绕物体做同步旋转，见图5.5。d，=(一sin(s)，eos(s)，0);d:=(0，0，l):d3=(一eos(s)，一sin(s)，0)(5.21)反投影坐标的推导见2.5.2。其中，(u(s*，习，v(s*，习)为射线源y(s*)与物体内一点，的连线和探测器平面的交点，在直角坐标系UOv中的坐标。}‘一，(s*)I表示射线源到物体内一点*的距离。k。，k，为由s。(x)和s，(x)所决定的分度，且满足s(*。一、)