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1、螺旋锥束CT重建算法研究1、相关定义1.1、由投影重建图像的定义CT的基本思想如下:取一个理想的X射线源,它发出极细的笔束X射线,在其对面放置一个探测器测得的数据为I,再将X射线源与探测器在观察平面内同步平移一定的步数Nt,每移一步均做同样的测量,如此取得一组数据。然后使X射线源和探测器旋转一个小角度Δφ(例如1o),再同步平移Nt步后,做上述测量,取得新角度下的一组数据。如此反复,直至旋转Nφ次(一般设NφΔφ=180o),取得Nφ组不同的数据(如图2-1所示)。NtΔφ图2.1X线发射源与探测器之间关系的示意图假定物体是均匀的,物体
2、对线性衰减系数为μ强度为I0的X射线行进x距离后,衰减至I,按Beer定理,有:中北大学学位论文80I=Ie?μx,(2.1)μx=ln(I0/I)。(2.2)若物体是分段均匀的,各段的线性衰减系数分别为μ1,μ2,μ3,L,相应的长度为x1,x2,x3,L(如图2-2所示),则下式成立μ1x1+μ2x2+μ3x3+L=ln(I0/I)(2.3)更一般地,物体在xy平面内都不均匀,即衰减系数μ=μ(x,y),则在某一方向l,沿某一路径L的总衰减为∫Lμdl=ln(I0/I)(2.4)此即射线投影,射线投影的集合∫μdl称为投影。从投影重
3、建图像就是根据一系列的投影∫μdl,反求被积函数μ=μ(x,y),从而得出μ分布(密度分布)的像。I0μ1μ2μ3LIx1x2x3L图2.2X射线强度经介质衰减示意图1.2、图像重建的定义2.2.1图像的定义与数字化2.2.1图像的定义与数字化简单地说,一副图像包含了对所表示的客观存在的物体的一种描述信息。从物理上讲,图像是物质或能量的实际分布;从数学上讲,图像是由连续函数和离散函数所组成的集合。本文在讨论图像重建问题的时候,我们通常假设图像具有下面的性质:①图像区域是一个正方形,其中心位置与坐标系原点相重合;②图像由二维函数f(x,y
4、)表示,其值在图像区域外为零,其中(x,y)为空间点的坐标,任意点(x,y)处函数幅值f(x,y)正比于图像在该点的光强度(灰度级)。③函数图像f(x,y)具有非负有界性,即满足0≦f(x,y)≦L。通常,在不引起混淆的情况下,将②中的函数称为”图像”。如果图像的区域不同,即使是相同的函数也可以得到不同的图像。在直角坐标系中,图像f是变量x,y的函数,则f在点(x,y)的值就称为图像在点(x,y)的密度。一幅数值图像就是图像f(x,y)在二维空间坐标上和亮度上都已离散化了的图像,可以把一幅数字图像考虑为一个矩阵,其行和列标出了图像各个点
5、在二维空间的位置,而矩阵元素的值,标出这些点的灰度等级,这样的数字阵列的元素叫做图像元素或象素[10]。一般把图像区域分成n×n个相等的正方形,每一个小正方形就是一个象素。在CT中,图像区域就是重建区域,被测物体断层重建图像包括在重建区域内,并且在点(x,y)上的图像密度值对应于点(x,y)在某种固定能量下的相对线性衰减系数值。1.3、同伦算法的基本定义和基本思想同伦(Homotopy)是拓扑学中的一个概念,同伦算法是一种大范围求解非线性方程组的整体算法。自从1976年,Kellogg和Yorke,Li利用微分拓扑工具解决了同伦算法的全
6、局收敛性间题,并用之给出了Brouwer不动点定理的构造性证明,于是引起了人们对同伦算法的重新研究。接着Smale发表了全局Newton法的文章。Chow,Mallet-Paret和Yorke利用他们构造的同伦给出了一系列重要定理的构造性证明,同时给出了可用的中北大学学位论文39算法.此后同伦算法的研究蓬勃发展。几十年来,人们从非线性方程组,不动点问题,平衡问题,非线性规划,多目标规划,变分不等式,互补问题等多种数学问题的角度对同伦算法进行了广泛深入的研究,并成功地把它们用于经济学,电子线路设计,自动控制,计算机辅助设计和制造等许多领域
7、中,成为了引人注目的算法,下面对其理论知识作简单介绍。定义4.1n个变量n个方程的非线性方程组的一般形式为:()??()???==,,,0,,,,0,12112nnnfxxxfxxxLLLLLLL(4.15)其中fi(i=1,2,L,n)是定义在n维Euclid空间Rn中开域D上的实值函数。若用向量标记,则令()()Fx=?????ffn1M(xx)?????,x=?????xxMn1?????,0=?????M00?????,则上述方程改写为F(x)=0这里F表示定义在Rn中开域D上的非线性映射,记为F:D?Rn→Rn。若存在x*∈D
8、,使F(x*)=0,则x*称为方程组(4.15)的解。定义4.2设f:D?Rm→Rn在x0∈D处具有一阶偏导数。用()??fxijx0表示映射的第i个分量fi:D→R对xj的偏导数在x0处的值,i=1,2,
