弗赖登塔尔关于数学化演讲稿

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1、-弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿 作者：弗赖登塔尔  文章来源：上海教育出版社中小学数学教学论著译丛《数学教育再探--在中国的讲学》   [荷兰]弗赖登塔尔 1.3数学化　　1.3.1术语   在讨论了数学的前后关系和内外结构之后，我们再回过头来把数学当成一种活动，来看看它的一个主要特征：数学化。是谁最先使用这个术语，用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢？这种术语通常是先出现在非正式的谈话和讨论中，而后才出现在文献著作里，因此没有人能说出是谁的发明。不管怎么说，数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，

2、这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。   .---以前用的术语，诸如公理化、形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理化也许是在数学的行文中出现得最早。公理和公式古已有之，尽管在岁月的长河中，"公理"（或"公设"）的意义及公式的形式有所改变.过去几个世纪里，人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。我们现在使用的公理体系这个术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳（虽然他们是先驱）是一种时代的错误。然而，重新组合某一领域的知识，以至于结论被当作出发点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的

3、定义--这种颠倒的构造是一种久远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽管只是到了近代，人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样，有意识地、有条理地、热切地运用它。今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。这种技术就叫公理化。它被现代的数学家深刻地理解和掌握。它早期显著的例子是群。18世纪以来，数学家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造这种映射。这样他们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，这种假设是后来群所需要的。1854年凯莱（Cayley）用这些假设统一定义了这种（有限）的对

4、象，他称作群。然而，直到1870年这一新概念才被一些领头创造的数学家们完全认可。之后又用到无限基的情况。在日常生活和符号语言中，公式是像公理一样古老，甚或更古老的一种特殊形式。用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长期的过程，它首先涉及到数学题材，后来才影响到表述这种题材所用的语言。这种对语言的整理、修正和转化的过程就叫做形式化。   .---可以肯定，公理化可能会像公理一样在现代数学中流行，他们只是一项活动过程中的精彩部分和最后的润色，在这个过程中重点强调的是形式而不是内容。公式和形式化也同样如此。公理来源于范例或一系列范例，而公理化则意味着总结熟练的范例。人们早

5、已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式。最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候。   上面一段解释，通过与公理化、形式化、图式化作类比，说明了数学化一词的来源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的内容是屡见不鲜的，所以我才占一定的篇幅来说明它。我自己则坚持这个术语应该包括数学家的全部组织活动，不管它是用于数学的内容和表达，还是用于更通俗的直觉意义上，比如生活经验，日常语言的表达。但是我们别忘了，在扩展的现实性和发展语言的复杂性中，"生活"和"日常生活"的个体的与

6、环境的依赖性。　　1.3.2某些方面   建立模型   然而，一谈到图式化就有一种倾向，把"图式"与形式化数学里的解题公式和步骤等问题等同起来。今天，在更广泛的意义上说，"图式"一词似乎被更时兴的"模型"所替代--这是一个很有价值的术语，然而不幸的是，由于人们的滥用和误用而降低了其含义。我一直反对这样做，至少在我看来是这样的。   .---数学总是被应用于自然和社会，然而长期以来，人们只是过多地考虑它的应用，而很少想到应用它的方法以及它为什么能用。记数实际上是由生活得来的常识，土地测量员的工作好像是说他们用的界钉和标杆就是几何上的点和线，还有外币兑换员，商人及药剂师好像都

7、在表明比例是自然界和社会的一个显而易见的特征。甚至古巴比伦王国的天文学家很早就习惯于用线性内插或外插法，来试着数值化地描述天文现象，也就是用分段线性函数和锯齿形函数的方法，后来的希腊人最终把它们变成测角函数。但是测角函数不会从他们仰望的天空里掉下来，其基本理论是天体运动应该是环形的。为了解释这种假设和一些互相矛盾的现象，产生了一个我们现在称之?quot;模型"的东西来描述天体的运动，这个模型包括了圆、本轮（epicycles）和外心的新发明，不管对它们进行几何上还是数值上的处理都需要用到测角函数。这个模型持续了近两千年。开普勒