高中数学竞赛训练题目二_1

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1、高中数学竞赛训练题二姓名：________________（训练时间80分钟）得分：___________________一、填空题（本题满分64分，每小题8分。）1．已知复数满足，则．2．设，，则的值域为____________________．3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是______________________．4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则_____________________．5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为____

2、_____________________．6．设，且，，则符合条件的共有组．（注：顺序不同视为不同组．）7．设，则的最小值为________________________--．8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是______________________．二、解答题（本题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．设数列满足，，其中．（1）证明：对一切，有；（2）证明：．10．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定

3、点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．11．设为正实数，且．证明：．答案：(09湖北)1．0;2.3.4.5.6.16007.8.9证明（1）在已知关系式中，令，可得；令，可得①令，可得②由①得，，，，代入②，化简得．------------7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．于是．因为，所以--14分10证明(1)设，则．由得，所以．于是抛物线C在A点处的切线方程为，即．　设，则有．设，同理有．所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点．-----------------

4、-----7分(2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得．设，，则①要证，只需证明，即②由①知，②式左边=．故②式成立，从而结论成立．-----------15分11证明因为，要证原不等式成立，等价于证明①----------------5分事实上，②---10分由柯西不等式知③----------15分又由知④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．-------------20分14（2010广东理数）20．（本小题满分为14分）一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。1）求直线A1P与

5、A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且,求h的值。10．求不定方程的正整数解的组数．10解令，，，则．先考虑不定方程满足的正整数解．，，．----------------------------------5分当时，有，此方程满足的正整数解为．当时，有，此方程满足的正整数解为．所以不定方程满足的正整数解为．------------------------------------------10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，

6、原不定方程的正整数解的组数为．------------------------------------------15分