如何用逆向思维解数学题

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1、如何用逆向思维解数学题摘要：当一个数学题用常规方法求解发生思维受阻时，用逆向思考的方法去探求新的：解题途径，往往能起到突破性的效果，但在谈针对什么而“逆”时，如：是从反面思考所提问题入手？是把原命题变换一下，从原命题的条件、结论的否定方面去探索？还是先解决原命题的反例？这就是在用逆向思维解数学题时所要把握的关键关键词：逆向思维；反面思考中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661(2015)07-204-02一、反问题程序反问题程序是逆向解题的一种表现之一，在运用反问题程序解题时，

2、关键是抓住题目中所提的问题，把原问题逆转后代入题目中反程序思考。当然，在利用反问题程序的思维方式解题时，对题目的针对性较强，但此种方法只要一适合解所给题时，往往是简单快捷。例1:100个士兵站成一行，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个士兵，问这个士兵第一次报数为多少？解法探求：若按问题的原程序，第一轮报数后划掉被淘汰者，第二轮报数后又划掉被淘汰者，如此下去，没有几轮就搅昏了阵线。现我们转换一种思维方式，把原问题逆转变为了“这个士兵最后一次报

3、数为多少？”易知其在倒数第1轮必报2,在倒数第2必报4,在倒数第3轮必报8,极易得出，倒推回去此兵依次报的是16、32、64。则第一轮报数为64可见在解决类似上面所给问题时，首先应判断能否用反问题程序来解，即由题目中所给问题的可逆性，思考逆转后的问题有什么结果，能否推解到原问题中。因而，可用以下示意图来表示其解题思路：二、反条件结论这种逆向解题的思维方式主要是表现在对所给题目的条件或结论进行否定后再思考，采取“变过去再变回来”的模式。然而在运用此类逆向思维解题时，一定要深刻认识进行变动后的题目，即弄

4、清它们的反面意义，确保“变回来”之后是原命题之解。1、求补法当题目条件本身复杂，或直接根据题目条件求解困难时，可考虑在与原题条件相反的条件下求解，将所得结果取其反面，便回到了原题条件下的结论，此法即为求补法。它们中至少有一个存在实数根，求m的取值范解法探求：至少有一方程有实根包括七种情况，分别讨论它们的判别式比较费事，而题目条件“至少有一个存在实根”的反面是“三个方程都没有实根”，这反面条件情况单纯，故若改为在反面条件下解出m的取值范围，便可简捷地以其补集作为原来题目的解。这种思维方法思路清晰，用它

5、解决相关问题时可避免正向思考所带来的大量麻烦。同时它也解决了与原条件相对的问题，更有利于把握知识之间的内在联系。这里针对求补法的解题思路可表为下2、反证法反证法就是假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理、定理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定原结论成立的证明方法。它是通过推证“结论的反面是错误的”，从而肯定“结论本身是正确的”，是逆向思维解决数学问题中的一种有效证题方法。由于此种方法在中学课本和相应书籍中介绍得较多，大家比较熟悉，这里不再举例赘述。三、反推理由于人们在解题过程中长期受正向思维的

6、影响，从所给题目的条件出发，逐步推得必要条件，最后导出结论，然而当在正向推理受阻时，可以考虑先从结论出发，逐步追溯充分条件，直追溯到题目所给条件为止，这就是通常所指的分析法。在用这种逆向思维解题时应注意在反推的每一步中都可逆。解题的最终目的是由条件导出结论，所以人们最易想到从条件开始入手，但有时较困难，这时从结论入手往往迎刃而解，上例则正是用反推理说明了这一点。四、反公式、定理、定义数学公式本身是双向的，可是不少人只会从左到右地运用公式，对逆用公式，特别是逆用变形的公式很不习惯。其实，只有灵活地运用

7、公式才会形成好的解题技巧，提高解题能力数学定理有不可逆和可逆的，教材中有的给出了逆定理，如勾股定理的逆定理，但尚有许多定理未讨论它的可逆性，有的却在直接应用。事实上，对某些重要定理的可逆性探讨是必要的，它是解决某些数学问题最简单快捷的方法。对于数学定义，也应注意它们的可逆性，因为在解决数学问题的过程中，往往要求对定义逆向运用，这可是突破某些问题的关键点。在此还要提醒一下法则的逆用，法则反映着一定的数学规律，是揭示数学元素间的内在联系和解决问题的重要工具。下面针对韦达定理在逆向解决数学问题时表现出的优

8、越性举一例。五、反例法在数学解题中，举反例来思考问题或验证问题占有很重要的地位，在数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，正确的要求给予严格证明，错误的则靠反例来否定。它是逆向思维在数学解题中最广泛的运用体现。给予我们一个命题，只要能举一个反例来说明这个命题不成立的话，这个命题必是假命题。因而通过举反例来解决、说明问题的例子在曰常解题中经常碰到，这里也就不再举例了。