高中一元二次不等式解法其应用

《高中一元二次不等式解法其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、.一元二次不等式解法【基础知识精讲】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式 y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x

2、1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-an)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-an)＜0，其中a1＜a2＜…＜an.......把a1,a2,…an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：4.分式不等式 (,bj互不相等)把a1,a2,…an和b1,b2，…，bm按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.综合

3、可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

4、及运用一元二次不等式解决某些应用问题。例1 解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;分析 解一元二次不等式一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式△=b2-4ac的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集.......特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).解：(1)原不等式可化为x

5、2-2x-3＜0,(x-3)(x+1)＜0.∴ 不等式的解集为｛x｜-1＜x＜3｝.(2)原不等式可化为2x2-x-2≥0,(2x+1)(x-1)≥0.∴ 不等式的解集为｛x｜x≤-，或x≥1｝.(3)原不等式可化为(x-)2＞0.∴ 不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠｝.(4)原不等式可化为x2+6x+15＞0.∵ △＜0，方程x2+6x+15=0无实根，∴ 不等式的解集为R.评析 熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.例2 解不等式≥2

6、.解：原不等式可化为-2≥0,......即为≥0，分子、分母必须同号，即可化为由于-2x2-x-1恒为负值，不等式除以(-2x2-x-1)得即x2+2x-3＜0，即(x+3)(x-1)＜0.解之得-3＜x＜1.原不等式的解集为｛x｜-3＜x＜1｝.遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为≥0，然后转化为(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时，可以去分母，如＞0x-1＞0且)例3 若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是(   )A.f(1)＜f(

7、2)＜f(4)         B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)         D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析 由条件知x=2为对称轴，f(2)最小，f(1)=f(3)，函数在(2，+∞)上为增函数，故选B.评析 熟记结论：对f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线x=a对称.例4 已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.解：方法一：显然a＜0，由(x+)(x-)＜0，得6x2+x-1＜0，变形得-12x2-2x+2＞0，故a=-12,b=

8、-2.......方法二：x=-与x=是ax2+bx+2=0的两根，故有解得评析 这里应注意韦达定理的应用.【难解巧解点拨】例1 若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.分析 在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类