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1、目录摘要(关键词)1Abstract(Keywords)11misl2正交矩阵的性质13正交矩阵的相关命题34正交矩阵的应用54.1正交矩阵在解析几何上的应用64.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用74.3正交矩阵在物理学中的砬用95后记10#敢献10翻寸11关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学巾一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应川.IT前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正
2、交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract:Orthogonalmatrixisakindofspecialmatrixinmathematics.Meanwhile,italsohassomeveryspecialpropertiesanditiswidelyused.Atpresent，therearemanyliteraturesaboutorthogonalmatrix,butmostofthemareaboutthepropertiesoforthogon
3、almatrix.However,theapplicationoforthogonalmatrixisseldommentioned.Themaintaskofthispaperistoinducethepropertiesoforthogonalmatrixandexploretheapplicationsofitinanalyticgeometry,topology,approximatealgebraandphysicsbyusingthedefinitionoforthogonalmatrixandutilizingthepropertie
4、sofmatrixanddeterminantasthemaintool.Keywords：Orthogonalmatrix;determinant;property;application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩陈所具有的
5、一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应fflo2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P上的矩阵，用表示数域P上w阶方阵的集合，用£表示单位矩阵，用
6、/1
7、、人分别表示矩阵A的行列式、逆矩阵（当A可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.定义2.1〃阶实矩阵A,若有A^A=E,则称A为正交矩阵.等价定义1:〃阶实矩阵A,若有E,则称A为正交矩阵；等价定义2:〃阶实矩阵A,若有,则称A为正交矩阵；阵质明矩性证交正等价定义3:"阶实矩阵A的iv个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称4为2.1A为正交矩阵，则其
8、行列式的值为1或-1.:由正交矩阵的定义知，=£两边同取行列式，得
9、A'A
10、=
11、£
12、=1,又由于
13、a’
14、=
15、a
16、，则
17、a
18、2=i，即
19、a
20、=±i性质2.2A为正交矩阵证明：设A=•••，々••量组.显然々”•••，（—々,）,•••，々），•知成立.性质2.3A为正交矩阵A的任一行（列）乘以-1得到的矩阵仍为正交矩阵.Pj，…fin｝，其屮A，".，A，"•，外，…，A是A的单位正父I口J，及也是4的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3的任两行（列）互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明：设欠=…及)其中成，…，A，."，/^，…，及是欠的单位止父向量
21、组.显然成，…,外，…，^，…，凡也是A的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4A为正交矩阵，则A—1、，、，也是正交矩阵.证明：(A'1)A'1=(^)'1A-1=(AAfy=E~[=E••./T1为正交矩阵，=£/.为止交矩阵，(^)=(AA-])AA~l=
22、A
23、(^"，)
24、^
25、^'1A'[=Ef/./V为止交矩阵.性质2.5/I为正交矩阵，则，1也是正交矩阵.证明：A为正交矩阵，则f/r1，(Aw)’=W=(a-1=(A,n)'*,由正交矩阵的等价定义2知，A为正交矩阵.性质2.6A、B均为正交矩阵，则它们的积AS也
26、是正交矩阵.证明：A、为正交矩阵，/4/=/4-1，^/=6-1，由于(/^)/=6：4/=5-1/1-1=(/^)_1，
