正交矩阵的性质.ppt

《正交矩阵的性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高等代数习题课正交矩阵的性质讲课：杨忠鹏制作：林志兴杨忠鹏2003.06.05习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根一、正交矩阵的定义及简单性质问题①正交矩阵之和？1定义　，若　称A为正交矩阵2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵②数乘正交矩阵？③A为正交矩阵②A为正交矩阵①A为正交矩阵3正交矩阵的判定的关系如何？④元素与其余子式，代数余子式③当某时，②的上界？问题：①的上界？二、有限维欧氏空间里的正交矩阵空间的一组标准正交基。A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维

2、行（列）向量1矩阵，则2n维欧氏空间的一组标准正交基，矩阵满足则为标准正交基A为正交矩阵A是正交变换A为正交矩阵则标准正交基，若3A为n维欧氏空间的线性变换，是一组A，②A为第二类的，若。①A为第一类的(旋转)，若；4n维欧氏空间的正交变换的分类使即对角矩阵向量，即A在下的矩阵为实存在标准正交基是A的特征A为对称变换则标准正交基，且A，5A为n维欧氏空间的线性变换，为一组1在不同的教材上曾出现下面的命题三、正交矩阵的特征根③正交矩阵的特征根的模等于1。②正交矩阵的实特征根为1或－1；①正交变换的特征根为1或－1；可得即注意此时由（1）和（2）对（1）两边取共轭转置（2）

3、（1）③的证明：　设为维非零复向量，为复数，且2正交矩阵A的特征根共轭出现的。②当时，由（3）知A的非实的复特征根是成对这里为矩阵A的所有特征根iii)ii)i)（3）①特征多项式③正交矩阵的特征根这里，为非负整数且非实特征根负特征根（4）正特征根ii)可设非实特征根为成对共轭与出现，且实特征根为1或－1i)分类3正交矩阵A的行列式，是－1作为A的特征根的重数（5）即②在（4）之下①或－1（简单证明，由定义给出）4正交矩阵的三类特征根特征根为1或－1。②n为奇数时，与的奇偶性相反，且至少有1个①n为偶数时，与的奇偶性相同5n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况③若A

4、有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。相同。A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性②A为第二类的　即若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数与n的奇偶性相同①A为第一类的　　即才是A的特征根，约定当不是特征根时，其重数为0：注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根③设A是33正交阵且　　证明A的特征多项式为这里，②证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。特征值。①证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个6问题①与②进一步的结论？iii)，，ii)i)③考虑A的所有特征值的可能性