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1、同济大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f(x)是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f(x)=
2、x
3、，则=___(m为整数)．2．函数y=cos2x-2cosx,x∈[0,2p]的单调区间是__________________．3．函数的值域是__________________．4．5．函数y＝f(x)，f(x+1)-f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y=____________．6．ABCMDN
4、Oxyz7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________．8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投影，则M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________．9．双曲线x2-y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________．二、解答题11．不等式对于任意x∈R都成立，求k的取值范围．12．不动点，．(1),3为不动点，求a,b,c的关系
5、；(2)若，求f(x)的解析式；(3)13．已知，(1)求y的最小值；(2)求取得最小值时的q．BACDA1D1C1B114．正三棱柱ABC－A1B1C1，
6、AA1
7、=h，
8、BB1
9、=a，点E从A1出发沿棱A1A运动，后沿AD运动，∠A1D1E=q，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积S与q的函数关系式．15．已知数列{an}满足．(1)若bn＝an-an-1(n=2,3,…)，求bn；(2)求；(3)求．16．抛物线y2＝2px，(1)过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求
10、AB
11、．(2)是否存在正方形ABCD，使C在抛
12、物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？42/42上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)一、填空题：1．已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是__________．2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________．3．函数（）的值域是_____________．4．已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________．5．和的最大公约数为，最小公倍数为，则=
13、______,=_______,=_______,=__________．6．已知,则方程的相异实根的个数是__________．7．的个位数是______________．8．已知数列满足,，且，则=____________．9．的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________．10．已知,则=_______________．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．2．某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数．3
14、．f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)≠0．4．，对于一切自然数n，都有，且，求．5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知为公差为的等差数列，．(1)用、、表示数列的通项公式；(2)若，，求的最小值及取最小值时的的值．42/42复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）一、填空题（每题8分，共80分）1．，则_________．2．已知，则的范围是___________．3．椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大
15、值是___________．4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法．5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______．6．的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________．7．已知，则的最大值为____________．8．设是方程的两解，则=__________．9．的非零解是___________．10．的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分）1．解方程：．2．已知，，且，求．3．已知过两抛物线C1：
16、，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求．4．若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界．问函数在上是否有界？5．求证：．6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离．7．比
