积化和差与和差化积公式的应用习题精讲

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1、三角函数式的化简要求是:项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号能求值得要求出值.一:定义法例1.化简解:设点二:弦切互化法例2.解:原式三:变用公式例3.解:原式说明:公式在解题中运用非常灵活.常常变形为来使用.四:连锁反应法例5.解:原式=说明:此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五:升降次法例6.解:原式例7.解:原式六:基本技巧例8(1)解:原式(2)解:角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过

2、和或差组合成一个角。例1、已知sina=4sin(a+b),求证：tan(a+b)=。证明：将角a分解成a=(a+b)-b由sin[(a+b)-b]=4sin(a+b)得：sin(a+b)cosb-cos(a+b)sinb=4sin(a+b)即sin(a+b)(cosb-4)=cos(a+b)sinb从而tan(a+b)=。例2、若3tana=2tan(a+b)，则sin(2a+b)=5sinb。证明：由条件有3sinacos(a+b)=2sin(a+b)cosa，6sinacos(a+b)=4sin(a+b)c

3、osa，从而sinacos(a+b)+cosasin(a+b)=5[sin(a+b)cosa-sinacos(a+b)]，即sin(2a+b)=5sinb。例3、已知cos(+x)=，，求的值。解：而cos(+x)=>0，，于是，从而有sin(+x)=-。注意到cos2(+x)=2cos2(+x)-1=2()2-1=-sin2x=于是原式=。以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。例4、已知：a+bÎ(，p)，a-bÎ(0，)，且sin(a-b)=，cos

4、(a+b)=-，求b。解：先求2b，而2b=(a+b)-(a-b)，由题可得：cos(a-b)=，sin(a+b)=，cos2b=cos[(a+b)-(a-b)]=cos(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)sin(a-b)=-·+·=又

5、tan10tan440=1+tan(10+440)(1-tan10tan440)+tan10tan440=1+1-tan10440+tan10440=2，同理有：(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。一般地，若A=n·(n为奇数)，均可考虑用tana化简。例6、求·tan250的值。解：上式即为分子=sin450+sin50-cos450+cos50-sin250=sin50+(sin850-sin250)=sin50+2cos550sin300=c

6、os850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，原式=cot150=2+。和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一.合理选用公式来确定例1已知α，β均为锐角，sinα=，求α+β的值。解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ二.借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起

7、作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例2已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。解析：由条件α，β都是第二象限角，则有因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由cos(2α+β)=cos2αcosβ－sin2αsinβ知2α+β在一、四象限。又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ知2α+β在一、二象限。

8、综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定例3已知cos(α－β)=都是锐角，求cos(α+β)的值。解析：由已知条件有因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。①又因为0＜β＜，所以＜-β＜0。②由①、②得＜α-β＜。又因为cos（α-β）=，所以。=。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-