《巧破圆锥曲线小题的几个实用定理》一文中定理的证明.doc

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1、《巧破圆锥曲线小题的几个实用定理》一文中定理的证明定理1：若点是“有心圆锥曲线”的弦的中点，其中不平行于对称轴且不过曲线中心，则.（圆的垂径定理的推广）证明：在椭圆中，设则，，两式相减，得到，即所以所以，同理可推导双曲线。定理2：若为“有心圆锥曲线”的直径，点为曲线上异于的任一点，则.（圆周角定理的推广）证明：如图，取中点,则由定理1，可知，同理可推导双曲线。定理3：设上一点满足，其中和是其焦点，则△的面积为.证明：由椭圆定义可知，在中由余弦定理得,定理4：设上一点满足，其中和是其焦点，则△的面积为

2、.证明：过程类比定理3证明.定理5：圆锥曲线（双曲线需同支）中共线焦半径分别为通径为，则.证明：设是倾斜角为且过椭圆的焦点的直线与椭圆交于()两点，不妨设则直线的方程可表示为或，当直线满足时，显然，，此时，=当直线满足时，，联立，消元整理得由根与系数关系将⑵⑶代入⑴整理得同理可推得对于双曲线，抛物线上述结论依然成立。定理6：（1）若极点在曲线上，则极线就是曲线在点处的切线；（2）若过极点可作曲线的两条切线，为切点，则直线就是极线.证明：（1）设极点为,则极线根据隐函数求导法则，方程两边对求导，得到，

3、所以，所以，故圆锥曲线在点处的切线方程为，到点在曲线上，所以有，代入切线方程，化简得切线方程为，极线就是曲线在点处的切线。(2)设由(1)得曲线在点处的切线方程为，又切线过点,所以,同理得,故过直线的方程为,则直线就是极线.定理7：设为抛物线的焦点弦，则过切点的切线的交点轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线，切点为，则为焦点弦.证明：设抛物线，过焦点的弦的两个端点为，（），则点处的切线方程分别为和，设交点为，则有，这说明切点，都在直线上，因此直线的方程为，又因为直线经过焦点

4、,代入直线的方程后得到,即两切线交点在准线上反之，设抛物线，点，，准线上任意一点，则抛物线在点处的切线方程分别为和，因为经过,所以有和，这说明切点，都在直线上，因此直线的方程为，故直线经过焦点,即为焦点弦.定理8：抛物线的二垂直切线的交点的轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线必互相垂直.证明:自一点向抛物线所引的切线方程为,即,与联立,消,得到.令,得到,设此关于的方程的两根，两切线相互垂直，.即抛物线的二垂直切线的交点的轨迹是它的准线反之，设抛物线，准线上任一点为,过此点

5、的切线方程为,即,与联立,消,得到.因为相切，令,整理得,设此关于的方程的两根，则，即由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线必互相垂直.