&amp#167;14.4 圆锥曲线的应用.doc

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1、§14.4圆锥曲线的应用预备知识直线的相关知识圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等重点直线与圆锥曲线的相交圆锥曲线的相交难点平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决学习要求能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的简单应用问题能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线

2、和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．1.直线和圆锥曲线相交问题例1如图14-15，椭圆的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若DABF2的面积是20，求直线AB的方程．分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有=(

3、y1

4、+

5、y2

6、)OF2．··xyABF2F1O24246图14-15又OF2=半焦距，所以只需求出y1、y2．又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y1、y2与k之间的关系可求得k．解由椭圆方程可知，a2=45，b2=20，c2=a2-b2=25．所以OF2=c=5．设

7、直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx．设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．从联立方程组中消去x，得；y=kx(9k2+4)y2＝180k2，解出

8、y1

9、=

10、y2

11、=．又=(

12、y1

13、+

14、y2

15、)OF2=20，即5´=20，解得k=±．所以所求的直线方程为y=±x．例2已知等轴双曲线x2-y2=4和直线l：y=k(x-1)．(1)当k取何值时，直线l与双曲线有两个公共点？(2)当k取何值时，直线l与双曲线有且仅有一个公共点？(3)当k取何值时，直线l与双曲线没有公共点？y=k(x-1)分析直线与双曲线的公共点

16、的个数取决于联立方程x2-y2=4，解的个数．解将y=k(x-1)代入x2-y2=4，得1-k2)x2+2k2x-k2-4=0．(＊)当1-k2=0，即k=±1时，方程(＊)可化为2x-5=0，此时方程只有一个实数解．当1-k2¹0，即k¹±1时，(＊)的判别式D=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2)．当即-0，1-k2¹0，同的实数解；当即k=±时，方程(＊)有两个相同的实数解;4-3k2=0，1-k2¹0，当即k<-或k>时，方程(＊)无实数解．4

17、-3k2<0，1-k2¹0，xy图14-16·综上，(1)当-时，直线与双曲线没有公共点．注意双曲线的渐近线是y=±x，所以情况(2)还可以细分为两种情况：当k=±1，l平行于渐近线，l与双曲线相交于一点；当k=±时，l与双曲线相切于一点(如图14-16)．从上面两例可见，求直线与圆锥曲线的交点，就是要求由一个二元二次方程和一个二元一次方程联立的方程组的解．若有两解，则直线与圆锥曲线相交．若有一解，则在椭圆情况，直

18、线必定与之相切；在双曲线或抛物线情况，则可能相交，也可能相切．若无解，则直线与圆锥曲线相离．课内练习11．直线y=kx+1(k>0)与椭圆相交于A、B两点，

19、AB

20、=，求k．2.如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围．2.圆锥曲线相交圆锥曲线相交，一般要涉及解两个二元二次方程组的问题，因此目前只能解决一些较特殊的情况．xy图14-17···OF1F2P1P12332例4已知抛物线y2=4x和椭圆方程为有共同焦点(如图14-17)，(1)求b；(2)如果P是两条曲线的交点，且F1为椭圆的另一个焦点，求DPF1

21、F2的面积．解(1)由抛物线方程可知，其与椭圆的公共焦点坐标为F2(1，0)，所以b2=9-1=8，b=2．所以椭圆方程为．(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，点P坐标为(x，y)满足方程组，y2=4x，消去y，得2x2+9x-18=0，解得x1=，x2=-6(舍去)．代回方程组可得y=±，从而

22、PM

23、=．=

24、F1F2

25、

26、PM

27、==．课内练习21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴负半轴上，与椭圆有相同的焦点，求抛物线和椭圆的交点坐标．2．已知椭圆及点B(0，-2)，过椭圆的左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求D

28、CDF2的面积．3．简单实际应用圆锥曲线在生活和生产实际中也有很多应用，下面举一些简单的实例．(1)抛物线光学性质的应用·图14-18能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物线，它有一个特性：从置放在抛物线焦点的