数学的基础研究

《数学的基础研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数学的基础研宄一、基本概述数学棊础(FoundationofMathematics)是研宄整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科，即研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。对于数学基础的关注和研宄，可追溯至古代。但在较长的历史阶段中，只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索，尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生，乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研宂活动的汇合，尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集

2、合论中出现悖论之后，方把数学基础问题的研宄推向高潮，并进一步促进了数学哲学的发展，直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。数学的基础研究的由来要追溯到数学的三次危机，正是三次数学危机的产物，使得数学的基础一步一步的浮出水面,虽然至今也无法给数学的棊础下一个确切的定义，但不可否认的是在三次数学危机中产生了一系列重要的数学定义以及数学公理、定理，无疑都推动了数学的发展。在数学研究的历史中，形成了诸多流派，其中有代表性的有三大流派，具体内容文章中会具体说明，每一个流派都有其代表性的成绩，这也使得数学的基础内容更

3、加丰富，研究数学的基础，能让我们感知数学历史发展的魅力，形成数学严密的逻辑思维能力，可以说数学知识是牵一发而动全身，数学的棊础研宂在数学研宄的历史中地位极其重要。二、三次数学危机1、第一次数学危机第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。这次危机导致无理数及儿何公理系统的建立一一欧几里得几何原木诞生。尽管原木还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研宄促使几何学走向严格的公理化。严格公理

4、化的几何就是几何棊础也是数学基础的一部分。在第一次数学危机中产生了亚里士多徳的古典逻辑、欧式儿何学《儿何原本》以及非欧儿何，这些重要的数学理论和著作都为数学的研究作出了巨大的贡献。2、第二次数学危机⑴17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英W主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立丫极限论，以极限为基础建立

5、微积分学。A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。数理逻辑是数学基础的重要内容。(2)芝诺悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个

6、悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。(3)微积分的产生：到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算一一微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公

7、认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：①.把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；②.有明确的计算微分法的步骤：③.微分法和积分法互为逆运算。3、第三次数学危机数学上的第三次危机•-般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。按照集合论的概括原则(构成集合的原则)，S应该是一个集合。问S是否是S的一个元素？如果Ses，则按照S的定义应有S不属于S;如果S不属于S,则按S的定义又应有SeSo无论哪种情况都导致矛盾。罗素悖论动摇了集合论，也

8、动摇了当时的数学基础。因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明0。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论屮包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同吋说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改