基于递归数列的湖水污染浓度与时间函数关系的建模与求解

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1、基于递归数列的湖水污染浓度与时间函数关系的建模与求解园杰聪园裕孟邢缪材料成型及其控制工程材料成型及其控制工程材料成型及其控制工程摘要随着工业的不断发展，人们的生活水平不断提高，H益恶化环境质量引起了人们的广泛关注，越来越多的人意识到居住环境对健康生活的重要性!一个地区被污染的程度往往由其被污染的时间的长短来直接体现。在本模型屮，我们通过递归数列的知识，建立一个数学模型来刻画湖水中污染浓度C的随污染吋间11的雙化关系，并通过Mathematic软件绘岡出湖水污染浓度c与污染时间n二维函数图象。在模型的基础上，我们通过VC++语言编写程序，根据测得的湖水污染浓度c的数据，通过V

2、C++可视化软件推测湖水被污染的时间。关键词:湖水污染浓度递归数列污染时间程序设计问题重述一个淡水湖受到上游化工厂污染影响。化工厂的污水以一定流量a（立方米/天）进入湖屮且污染物质迅速均匀混合于湖水屮，湖水以同样流量a流出从而湖水体积b（立方米）一直保持不变。湖水污染程度用每立方米湖水所含污染物质的克数描述，称为污染浓度c（克/立方米）。设化工厂的污水浓度为k（克/立方米），试建立一个数学模型来刻画湖中污染浓度c的变化。要求写出解的表达式并说明怎样利用模型推测湖水受到了多长时间的污染。问题分析由题意可知，目的是建立一个模型来解决湖中湖水污染浓度C随污染时间n的变化关系，并根

3、据建立的模型，通过测得的湖水的污染浓度c来推测湖水被污染的时间n。所以我们可以将此问题拆分成两个问题：问题一：湖水污染浓度c与污染时间n的函数变化关系；问题二：利用建立的模型推测湖水被污染的时间；问题一中，我们可以从分别计算第一天、第二天、第三天的湖水污染浓度Q、C2>中，递归出一半的湖水污染浓度c随污染时间n的函数变化关系，在这个问题中，我们顺理成章的想到了通过利用递归数列的原理去寻找湖水污水浓度c与污染时间n的一般函数关系。问题二中，通过测得的湖水污染浓度c，让人工去缩小区间、一一对应地寻找湖水被污染的时间是比较困难，也不太现实，所以我们采用VC++编程的方法,利用VC

4、++语言编写程序，通过编写好的程序，按要求输入数据，VC++可视化软件就会输出湖水被污染的时间。最后，我们根据网上提供的资料以及自己的生活经验，寻找模型的缺点，完善我们的模型。问题假设1、化工厂排放的污水每天以一定的流量a立方米流入湖中且每天各个时段流入湖中的速率和同。2、湖中湖水每天以一定的流量a立方米流出湖且每天各个时段流出湖的速率相同，从而湖水每天的体积b立方米保持不变。3、化工厂排放的污水浓度每天都为k（克/立方米），保持不变。4、污染物质进入湖水后能迅速均匀和湖水混合。符号说明a:流量，b:湖水体积，c:湖水的污染浓度，k:污水浓度，n:污染的时间，rn：第n天流

5、入a立方米的污水后的污染浓度。Cn：第n天湖水的污染浓度。模型的建立与求解问题一湖水污染浓度c与污染时间n的函数模型，我们可以根据递归数列的知识进行求解。第一天，化工厂排放的a立方米的污水流入湖中，污水中含污染物为a*k=a氺k克，此时湖水的污染浓度为371a+b（克/立方米），而此时乂有a立方米的湖水从湖屮流出，流出的湖水屮含有的污染物为3*171克，此时湖屮剩余的污染物为克，从而可以得出第一天湖水的污染浓度_a氺k—a氺Clb（克/立方米）.第二天，流入湖水的化工厂污水也为a立方米，污水屮含污染物为a*k克，_a*k+ci*b湖中污染物变为aq+e1*272克，从而湖水

6、的污染浓度为ha+b（克/立方米），而此时湖中又冇a立方米的湖水流出，流出的湖水中所含冇的污染物为a*372克，湖中此时剩余的污染物为a*k+ei*b_a*ir2克，从而可_a氺k+ci氺b—a氺r2以得出第二天湖水的污染浓度b（克/立方米）.第三天，又有a立方米化工厂污水排入湖中，污水中含污染物为a吨克，从_a*k+C2*b而湖中污染物为a*k+*b克,此吋湖水的污染浓度为h_a+b（克/立方米），与此同时又有a立方米的湖水流出湖中，流出的湖水中含有的污染物为a*173克，湖中剩余的污染物变为a*k+&*a*克,从而可以得_a*k+C2氺b—a氺r3出第三天湖水的污染浓度

7、Q3_b（克/立方米）.从己建立的第一、第二、第三天的污染浓度A、C2、C3,通过数列的递归原理，我们归纳出两个一般表达式：a*k+Cn-i*b—a氺a氺k+Cmi氺brn=,,a+b（2）a*kbCn=+Cn-1将（2）式代入（1）式整理可得：a+ba+b（3）ck=bLJ-J将（3）式变形得：na+b（4）b所以数列｛<^_1^｝在（心1）吋是首项为€：1_1€，公比为a+b的等比数列，c-k,b*2Jr15根据等比数列通项求法，我们可以得出：na+bW*b,所以湖水污染浓度c与污染时间n的函数变化关系为：en