2012高考数学（理）真题（word版）-天津卷（试题+答案及解析）

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WORD格式整理版2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么棱柱的体积公式圆锥的体积公式其中S表示棱柱的底面面积其中S表示圆锥的底面面积h表示棱柱的高h表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，复数=A．　　　B．C．　　　　D．2．设则“且”是“”的A．充分而不必要条件　　　　　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　　　　　　　　D．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为A．3B．4C．5D．64．已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为A．-110　　B．-90C．90　D．1105．在的二项展开式中，的系数为A．　　　B．　　　C．　　　　D．6．如图，在△中，是边上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则的值为学习好帮手 WORD格式整理版A．　　　B．C．　　D．7．已知则A．　B．C．　　D．8．对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A．　　　B．C．　　　D．第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________11．已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，学习好帮手 WORD格式整理版则=________.12．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则线段的长为__________.13．已知集合，则集合=________.14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（II）设，若求的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且学习好帮手 WORD格式整理版（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在，使；（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．20．（本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（III）设证明：．学习好帮手 WORD格式整理版答案解析一、选择题(本大题共8题,共计40分)1、(5分)B　.2、(5分)A　∵x≥2，∴x2≥4.∵y≥2，∴y2≥4.∴x2＋y2≥8≥4.∴x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，反之令x2＋y2＝5≥4，可取x＝2，y＝1，无法推出y≥2.故选A项．3、(5分)B　第一次运算：i＝1，a＝2，a＜50；第二次运算：i＝2，a＝5，a＜50；第三次运算：i＝3，a＝16，a＜50；第四次运算：i＝4，a＝65，a＞50.所以输出i＝4.4、(5分)D　设等差数列{an}的首项为a，公差d＝－2.则a7＝a1＋6d＝a1－12；a3＝a1＋2d＝a1－4；a9＝a1＋8d＝a1－16.∵a7是a3与a9的等比中项，∴＝a3·a9，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，∴a1＝20.∴S10＝10a1＋d＝110.5、(5分)C　设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，则.令3－r＝2，得r＝1.∴x2的系数为.6、(5分)D　设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝A．学习好帮手 WORD格式整理版在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，.∴sinC＝·sinA＝·＝.7、(5分)C　，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，＞log33＝1，又log23.4＞＞，∴log23.4＞＞log43.6.又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b．8、(5分)B　由题意得，即在同一坐标系内画出函数y＝f(x)与y＝c的图象如图所示，结合图象可知，当c∈(－∞，－2]∪(－1，)时两个函数的图象有两个公共点，从而方程f(x)－c＝0有两个不同的根，即y＝f(x)－c与x轴有两个不同交点．学习好帮手 WORD格式整理版二、填空题(本大题共6题,共计30分)9、(5分)12解析：设抽取男运动员人数为n，则女运动员人数21－n.由分层抽样知：，∴n＝12.10、(5分)6＋π解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个长方体和一个圆锥的组合体．下面的长方体的长、宽、高分别是3m，2m，1m，∴体积为3×2×1＝6(m3)．上面的圆锥底面圆半径为1m，高为3m，∴圆锥的体积为π×12×3＝π(m3)．∴该几何体的体积为(6＋π)m3.11、(5分)解析：消去参数t，得抛物线标准方程y2＝8x，其焦点F(2，0)，∴过抛物线焦点斜率为1的直线方程：x－y－2＝0，∵直线与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝d＝.12、(5分)解析：设BE＝m，则BF＝2m，AF＝4m.∵AB与CD是圆的两条相交弦，交点为F，∴由相交弦定理，得AF·FB＝CF·FD＝＝2，∴4m·2m＝2，∴m2＝.又∵CE是圆的切线，学习好帮手 WORD格式整理版根据切割弦定理，得CE2＝EB·EA＝m(m＋2m＋4m)＝7m2＝，∴CE＝.13、(5分){x|－2≤x≤5}解析：解不等式|x＋3|＋|x－4|≤9.(1)当x＜－3时，|x＋3|＋|x－4|＝－x－3＋4－x≤9，∴x≥－4，即－4≤x＜－3；(2)当－3≤x≤4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋4－x≤9恒成立，∴－3≤x≤4；(3)当x＞4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋x－4≤9，∴x≤5，即4＜x≤5.综上所述，A＝{x∈R|－4≤x≤5}．∵t∈(0，＋∞)，∴x＝4t＋－6≥2－6＝－2，当且仅当t＝时等号成立．∴B＝{x∈R|x≥－2}．∴A∩B＝{x∈R|－4≤x≤5}∩{x∈R|x≥－2}＝{x∈R|－2≤x≤5}．14、(5分)5解析：根据题意，以AD为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．∵AD＝2，∴A(－2，0)．∵BC＝1，∴可设B(－1，n)．∴点P在DC上运动，∴可设P(0，y)(0≤y≤n)．∴＝(－2，－y)，＝(－1，n－y)，∴＝(－5，3n－4y)．∴.∴当3n＝4y，即y＝n时，取得最小值5.三、解答题(本大题共6题,共计80分)15..解：（1）由，得，所以f(x)的定义域为．学习好帮手 WORD格式整理版f(x)的最小正周期为（2）由得，，整理得．因为，所以.因此由，得．所以16.解：（1）①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又且A2，A3互斥，所以.（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X012P学习好帮手 WORD格式整理版X的数学期望17.解：(方法1)如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.   依题意得   （1）解：易得，   于是   所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：易知   设平面AA1C1的法向量，   则即   不妨令可得，   同样地，设平面A1B1C1的法向量，   则即不妨令，可得于是从而学习好帮手 WORD格式整理版所以二面角A—A1C1—B的正弦值为（3）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为 (方法2)（1）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为学习好帮手 WORD格式整理版（2）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点A作于点R，连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，连接AB1，在中，，从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为（3）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.学习好帮手 WORD格式整理版在中，所以可得连接BM，在中，18.解：（1）设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即整理得(舍)，或，所以.（2）由(1)知，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为．A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得得方程组的解.不妨设．设点M的坐标为．由学习好帮手 WORD格式整理版于是由，即，化简得将，所以x＞0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．19.解：（1）．令.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－f(x)↗极大值↘所以，f(x)的单调递增区间是的单调递减区间是．（2）证明：当由(1)知f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令由于f(x)在(0，2)内单调递增，故.取所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′＞2，且g(x′)＜0即可．)（3）证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知，从而f(x)在[α，β]上的最小值为学习好帮手 WORD格式整理版f(α)．又由β－α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3.故从而20.解：（1）由可得又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.（2）证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③②－③，得a2n＝a2n＋3.④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)．即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此是等比数列．（3）证明：由(2)可得a2k－1＋a2k＋1＝(－1)k，于是，对任意k∈N*且k≥2，有a1＋a3＝－1，－(a3＋a5)＝－1，a5＋a7＝－1，(－1)k(a2k－3＋a2k－1)＝－1.将以上各式相加，得a1＋(－1)ka2k－1＝－(k－1)，即a2k－1＝(－1)k＋1(k＋1)，此式当k＝1时也成立．由④式得a2k＝(－1)k＋1·(k＋3)．从而S2k＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a4k－2＋a4k)＝－k，S2k－1＝S2k－a4k＝k＋3所以，对任意n∈N*，n≥2，学习好帮手 WORD格式整理版对于n＝1，不等式显然成立．学习好帮手