数学建模自习室管理

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1、一.问题重述:近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。1.假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。2.在第一问基础上，假设这800

2、0名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，SP1，2,3,4,5为第1区，...，41，42,43,44,45为第9区。这W个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外从量安排开放同区的教室。3.假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同

3、学上自习的可能性增大为0.85,要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需耍，需耍临时搭建儿个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，乂能提高学生的满意程度。表格见附录1。需要研宄的问题：1.统计出上自习的人数和所需要的座位数2.把

4、节约用电作为问题一的约束条件求解3.根据宿舍区到自习区的距离（附录1表2）构造学生上自习满意程度的函数1.在解决问题一的基础上，同时考虑节约用电和满意程度配置开放自习教室，进行多目标规划。1.改变约束条件，重新计算上自习人数和所需要的座位数2.考虑搭建若干个教室提供足够座位给期末吋上自人数，冋时兼顾提高满意度和节约用电的要求一.模型设计和求解：（一）.模型假设：1.每个同学上自习相互独立，且概率相同2.每个同学随机选择自习教室，不受距离、楼层等因素的干扰3.计算过程屮，座位数和教室数满足整数的要求4.满意度只与学生区到自习区

5、的距离有关5.情况1:学生人数共8000人，学生区不对总人数进行平均分配即不考虑10个学生区人数的居住分配情况情况2:10个学生区，每个区域平均配置即居住有学生800名6.问题3屮在未搭建临时教室之前10个学生区屮没有座位的人数相同7.若某教室开放，则此教室所有灯管全部打开8.不考虑搭建临时教室的成木问题（二）.符号说明:符号含义n样木容量X:上自习事件的概率分布zi为0或1，分别表示第i号自习教室关闭或开放（z=l,2,...45）k上自习的可能人数ai为第f号教室单盏灯管消耗功率（瓦/每只）（/=1,2,...45）hi

6、为第/号教室所含灯管数（z=l,2,...45）ci为第Z号教室消耗总功率（/=1,2,...45）为第f号教室拥有座位数G=1，2，...45）r所需座位数a,b满意度函数所用系数从i学生区到j自习区的满意度（f=l，2，...10;y=l，2，...9）Xij从i学生区到j自习区的人数（z•二1，2，...10;./:1,2，."9）从i学生区到j自4区的距离（/=l，2，...10;j=l,2，...9）第y号自习区提供的座位数（;=1，2”..，9）Pj可在第./号自习区的上自习人数上限（;=1，2,…，9）目标函

7、数的加权系数⑽+夕=1）Ai设宿舍区依次为AI，A2，...，A10Bi自习区为B1，B2，...，B9%与第（号教室规格相同的搭建教室的选择变量0=1，2，...，45）q所冇教室总座位数f所有教室总的最小功率s总的最大满意度(三).解题思路及过程：问题1基于题目情况，根据题目所给的表格，运用概率统计的相关知识，分析和计算学生上自d的人数以及所需要的座位数0。然后根据节约用电的原则，把耗电最小作为教室选择的约束条件，得到结果。具体步骤如下：(1).计算所需座位数此问题符合概率统计中的二项分布。由于样本值较大，则可以用正态分

8、布对二项分布进行近似计算。应用“棣莫弗一拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理”进行样本计算。将满足程度不低于95%理解为上自习得同学有95%都有自习座位坐。即每个上自习人能够正常上自习的概率为0.95。由此可以计算出上自习所需座位数。再由开放教室的满座率求得座位数的上限和下限。