教案《最小二乘法》

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1、8最小二乘法一、教学分析最小二乘法的思想是使&-的和达到最小。对于最小二乘法本身，任何一组数据，不论它们之间是否存在线性相关关系，都可以用最小二乘法佔计出一个线性方程来。所以，通过散点图判断两个变量是否存在线性相关系就显得很重耍。二、教学建议关于最小二乘法不要求学生掌握推导过程，但要理解其思想。三、教学S标1、知识与技能了解最小法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。2、过程与方法经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，体会研究两个变量间依赖关系的一般方法。3、情感态度价值观通过利用散点图直观认

2、识变量间的相关关系，培养学生用普遍联系的观点思考和解决生活屮的数学现象，进一步培养学生的创新意识与创新能力。四、教学重点、难点教学重点：利用最小二乘法求线性回归方程。教学难点：线性回归方程的推导。（一）课题引入在上一节的讨论我们知道，人的身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就说，它们之间是线性相关的。这种线性关系可以用多种方法来刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好呢？一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都接近。（二）探求新知假设一条直线的方程为：y=a+bx,任意给定一个样本点：即有一个估计值+与之对应，那么估计

3、值与真实值之间存在误差[X.-(6Z4-^.)],为了避免误差相互抵消，可以考虑用+来刻画彼此之间的“误差”。如果有n个样本点，艽坐标分别为k，yKx2，y2；)，一，k，x,；)，则所有误差的和-(6T+/?%,)]"+[%-(0+加2)丁+…+[X,-(<3+fex,,)]_越小，对应的直线方程就越理想。使得上式达到最小值的直线y=G+就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。记：;=W...+”2+...+凡,贝。nn22~12=na+{bx--n{bx-4-^2(}；-/?xz)2,戶斤以当tz=)’一/)%时，

4、_h式取得一/=1最小值。将这个关系式代入上式，整理成关于未知数b的一元二次多项式的形式:22Z(^-^)2=z?2Z(x/-x)-2Z(x-y)(^-^)+Z(x-v)/=1，=

5、/=

6、/=1”—_^x^-nx-y所以当气了时，点k，x.)与直线最接近。这样得到的2-nxi=方程称为线性冋归方程，仏/7称为线性冋归方程的系数。(三)知识应用例1、在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表所示:气温(x)rc261813104-1杯数202434385064

7、(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。(2)如果某天气温是-5°C,请预测大约能卖出热茶多少杯。杯数♦An□uAn20♦♦on♦▲1n0iiiiii-5051015202530气温解：(1)从散点图可以看出，两个变量是线性相关的。可求得33例2、下面是两个变量的一组数据：进而求得/7=-1.648，u=57.557。于是，线性回归方程为y=57.557-1.648%。(2)由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是-5°C时，卖出热茶的倍数估计为57.557-1.648x(-5)=65.797-66oXl234

8、5678y1491625364964(1)请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程；(2)观察散点图，你发现线性冋归方程能否反映两变量之间的相关关系吗?解：线性冋归方程为y=-15+9%。但是，从表中数据很容易看出：y=此时，最小二乘法得到的线性回归方程已经失去丫意义。所以，利用最小二乘法进行估计时，要先作出数据的散点图，如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律性进行拟合。如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合。(三)课堂练习

9、1、设^^乂)，^^，｝^)，…，(x3，y3)是变量和y的/I个样本点，直线Z是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是()八.冋归直线是经过散点图上最多点的直线B.若回归方程为;v=-0.5x+l，则当x=10时，＞，一定等于6C.当Z7为偶数时，分布在Z两侧的样本点的个数一定相同D.直线/过点（三丁）解析：根据最小二乘法的有关概念：样木点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断。选D2、（2011年广东卷）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号

10、到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间I12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为:用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命屮率为。0.5,0.533、课本57页练习(1)线性冋归方程为.v=-