推理与证明问题

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1、第三讲推理与证明问题【学习目标】掌握合情推理和类比推理的一般思维过程；掌握演绎推理的三段论模式；掌握数学归纳法的证明步骤.【考题再现】1、(2012陕丙)观察下列不等式1+照此规律，第五个不等式为2.(2013陕西)观察下列等式:(l+l)=2xl(2+l)(2+2)=22xlx3(3+1)(3+2)(3+3)=23x1x3x5照此规律，第/r个等式可为.3.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3,6，10,…，第zr个三角形数为+二丄"2+丄"。记第Z?个々边形数为22

2、2N、n，k)(Z:>3),以下列出了部分A边形数中第a:个数的表达式:三角形数A^(z?,3)=-n2+-z?正方形数7V(/t,4)=n231五边形数N(ny5)=-n2——n22六边形数N(n，6、=2n2-n可以推测的表达式，由此计算?V(10,24)=。4.两点等分单位圆时，有关系为sina+sin(Ji+a)=0;三点等分单位圆时,有关系为sina+Sin(^«十fJ+sinfa十y)=0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为.【典例剖析】热点考向：直接法证明例1.(文)设f(x)=ax2+

3、bx+c(a其0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：为偶函数.(理)设nEN*,n>b求证：1变式训练：已知函数f(x).求证:(1)函数f(x)在(一1，+~)上为增函数;⑵方程f(x)=0没有负根.热点考向：间接证明(反证法)例2.实数a.，b，c，d满足a+b=c+d=l，ac+bd〉l，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数.【巩固训练】1.（文）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”吋，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设

4、三内角至多有一个大于60°I）.假设三内角至多有两个大于60"（理）用数学归纳法证明l+j+j+…+^y

5、<3B.1+

6、+

7、<2C.1+»D.1+

8、+

9、+^-<32.给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a,则a—类比推出“若5，Z?EC，则a—Z?=0=>a=Z?”；②“若a，b，c，6/ER,则复数=b=cf类比推出“若a，b，c，deQ,则a+b[2,=c+c/f2^a=c,b=cf’•，③“若权，Z?ER,

10、则a—b〉04a〉b”类比推出“若a，Z?GC，则a—b〉04a〉b”.其中类比得到的结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.33.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个1）.5个这些数叫做三角形数，因为这些A.nC.Z7一一1.△△4.在古腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，15,21,28,数对应的点可以排成一个正三角形则第Z?个三角形数为B.—71（/2+1）1zD.一Z7（Z7—1）25.己知

11、数列｛久｝满足q=2，a),则屮的值为«,•6Z2•a3a2(K)1的值为6.观察不列等式:12-22+3-42=-10,••參由以上等式推测出一个一般的结论:对于neN*,12-22十32-42十…十(-l)n+1n2=.7.两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的而积恒为类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其屮一个的某顶点在另一个的屮心，4则这两个正方体重疊部分的体积恒为()b-td-7a3A.—168.等差数列UJ屮，公差为

12、&=&•+(/?—///)d；⑵若m+n=p+q，m、n、p、gEN*,则而+私二办+馬；(3)若/"+z?=2p，则礼+礼=2办；(4)5„,么一Sn，义一构成等差数列.请类比出等比数列的有关性质.9.若x，y都是正实数，且x+y〉2,求证：7<2和*<2中至少有一个成立。丄110.己知x〉0，y〉0，求证：（x2+J2）】〉（x3+）’3）3