基于自然邻近无网格法的形状优化方法.doc

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1、基于自然邻近无网格法的形状优化方法王凯，周慎杰，聂志峰，孔胜利（山东大学南校区机械工程学院，山东济南，250061）摘要：把自然邻近无网格法中控制方程的局部积分“弱”形式应用于连续型物质导数法灵敏度分析中，使用直接微分法导出了连续形式的灵敏度分析公式，采用自然邻近无网格法对其离散求解，以获得各结点处的灵敏度信息。使用该灵敏度分析方法，把自然邻近无网格法与非线性规划理论相结合，采用约束变尺度序列二次规划法，构建了一种形状优化方法。算例表明，优化过程不需要网格重构，具有较高的收敛速度，使用较少的设计变量就可以获

2、得良好的优化效果。关键词:无网格法，自然邻近插值，灵敏度分析，形状优化1引言形状优化属于移动边界问题，有限元法处理这类问题时存在诸多不便，设计边界在优化过程中大幅度频繁变动，常会导致有限元网格反复重构[1]。不仅如此，由于灵敏度分析要求新旧网格必须保持同样的拓扑结构，因而灵敏度分析的精度不得不受到网格变形的影响而降低，导致结构重分析次数多，优化效率比较低[2]。无网格法的理论特点特别适合移动边界及大变形这类问题，学者们纷纷将其应用于形状优化[1~3]。在形状优化中，无网格法的优势不仅在于不需要网格重构，而且

3、可以获得更为准确的灵敏度信息，能够提高形状优化的效率与精度。本文把自然邻近无网格法中控制方程的局部积分“弱”形式[4~6]应用于连续型物质导数法灵敏度分析中，使用直接微分法导出了基于子域积分的连续形式的灵敏度分析公式，采用自然邻近无网格法对其离散求解。使用该灵敏度分析方法，结合约束变尺度序列二次规划法构造了基于自然邻近无网格法的形状优化方法。讨论了数值实施中设计边界的参数化方式、设计速度计算及分析模型更新等问题。算例表明，优化过程不需要网格重构，具有较高的收敛速度，使用较少的设计变量就可以获得良好的优化效果

4、。2自然邻近无网格法自然邻近无网格法通过定义在局部子域上的“弱”形式来满足平衡方程和边界条件[4~6]。由于使用了具有插值特性的non-Sibsonian插值[7]构造位移近似方案，可以直接引入边界条件，其经典弹性力学边值问题的子域积分形式为：(1)式中是权函数，是局部子域，其边界通常由三部分组成[5]，内部边界Ls、位于整体自由边界上的Lt，以及位于整体本质边界上的Lu。利用高斯散度定理，考虑自由边界条件，并特别选取函数NIi作为权函数使得在Ls上的边界积分为零，可以得到自然邻近无网格法的局部积分“弱”形

5、式[4~6]：(2)上式中考虑几何关系与本构关系，将位移作为基本变量，并以non-Sibsonian插值近似，可得到其离散形式，用矩阵形式表示为：,(3)式中N是整体域及边界上的结点总数，、和的形式参见文献[4~6]。由于权函数及局部子域构造的多样性，自然邻近无网格法的实施方案不拘一格[4]。本文采用计算效率较高的多边形子域实施方案[5]，这一方案利用Delaunay三角化信息构造多边形结点子域，权函数采用线性有限元形函数，在每个成员三角形上采用三点高斯积分。3连续型物质导数法灵敏度分析连续型的物质导数法灵

6、敏度分析使用了连续介质力学中物质导数的概念，将位移灵敏度定义为位移对时间型设计变量的物质导数[1~3,8,9]。利用几何关系及本构关系，可将应变、应力对设计变量的灵敏度用来表示，这些信息可确定形状优化中的搜索方向。求解的方法有多种[1,8]，其中直接微分法更适合用于形状优化这类问题[1]。3.1　灵敏度分析的局部子域积分方程使用直接微分法[1]，对(2)式定义的自然邻近无网格法局部积分“弱”形式两端求物质导数，令,，考虑几何关系与本构关系，可以得到以位移灵敏度作为基本变量的连续形式灵敏度分析方程[4]：(4

7、)3.2离散形式位移灵敏度仍采用non-Sibsonian插值近似，可以得到灵敏度分析方程的离散形式，用矩阵形式表示为：(5)其中：(6)(7)(8)(9)以二维问题为例，上式中矩阵、、、、的形式参见文献[5]，矩阵和与设计速度场[1]vi的导数相关，其形式为：(10)从理论公式的推导可以看出，在离散前就对设计变量取物质导数，避免了形函数对设计变量的求导运算。注意到，刚度项与结构分析时的刚度项相同，这样可以在结构分析时将已经求得的刚度矩阵储存起来，用于后续的灵敏度分析，节省了计算花费。由(10)式可知，设计

8、速度场求解的准确与否将直接关系到位移灵敏度的计算精度。本文在计算整体设计速度场时采用边界位移法构造辅助结构分析方程[3,8,9]，利用差分法确定边界设计速度场后，将其作为边界条件引入辅助结构分析方程，使用自然邻近无网格法离散求解，就可以求得所有结点处的设计速度，这不仅反映了连续介质的变形特点，而且满足线性相关性要求及规则化要求[9]。4形状优化形状优化问题的数学模型可以表示为：min(11a)s.t.,(11b)