探讨数学思想方法在大学数学教学中的渗透

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1、探讨数学思想方法在大学数学教学中的渗透摘要：教师如何在大学数学教学中让学生通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括等方法，形成数学思想，学会应用数学方法，可以从以下几个方面着手：一是挖掘数学思想方法，养成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的意识；二是学习数学思想方法，增强思维的缜密性与深刻性；三是引导学生从数学思想的高度去总结、归纳、深化，增强学习与原理的迁移能力。关键词：数学思想；思维意识；渗透与应用中图分类号：G642文献标识码：A一、分类的思想方法所谓分类思想，就是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研宄对象分为不同种类的一种数学思想。一般按照“明

2、确对象一确定标准一逐类讨论一归纳总结”思维步骤来分析问题。如矩阵按元素间的关系分类，可以分为矩阵的等价关系、合同关系、相似关系；将次数火于零的多项式分为可约与不可约两类；将二次型分为正定、负定、不定三类；利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类等。以下2个概率问题的解答需要多个分支的综合得出答案。例1:今安排5列汽车停在5个车位上。如果甲车不许停在最左边，乙车不许停在最右边，问有几种排法？分析：先考虑甲车。如果甲车在最右边，余下的4辆车的排列不受限制，一次有A4种排法；如果甲车不在最右边，则只能排在中间3个位置，此时乙车也只有3个位置可以选择，因此

3、有A1A1A3种排法。所以，共有A4+A1A1A3=78种。此题为大专概率统计学中基础的题目，通过对甲乙的分类讨论，渗透分类思想方法，可提高思维的严密性。例2:—批零件共100个，次品率为10%，每次从其屮取一个零件，不放回，如果第一次取得合格品后，就不再取零件，求三次内取得合格品的概率。分析：将第一次或第二次取得合格品，或第三次方取得合格品共分3类进行讨论。令A=“在三次内取得合格品”，则A=A1+A1A2+A1A2A3故P(A)=P(Al)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=0.993以上数学问题的解法，实质是变换命题形式和分类思想的反复运用，此类数学问

4、题的每一步转换，都遵循着分类思想方法“总一分一总”的规律。通过这类数学问题的解决，可避免分类屮重复和遗漏的现象，学生能够领悟分类的魅力。二、类比的思想方法所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个(两类)对象进行比较,根据两个(两类)对象在一系列属性上的相似，而且己知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。类比有结构类比、降维类比等。如n维空间屮的邻域、两点间的距离、点列极限等基本概念以及连续性定理等可与一维空间中的相应内容作类比。由二维、三维空间类比推出一般数域P上的抽象向量空间的概念。由整数整除理论类比推出数域P上的多项式

5、的整除理论。由直角华标系下几何向量的长度、夹角、内积等，类比在标准正交基下n维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积等。一元函数微积分与多元函数微积分中许多概念、定理可作类比和比较。离散求和的数项级数、函数项级数与连续求和的广义积分、含参量广义积分同样可作类比和比较。又如多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分等重要概念与一元函数的极限、连续、导数、微分、积分相类比，如多元函数类比一元函数的连续、可偏导、可微的三者关系时：一元函数可导等价可微，可导与可微可以推出连续；多元函数可微可以推出连续和可偏导，可偏导推不出可微和连续。此外，不同？笛3纬讨械哪谌菀部勺骼啾群

6、捅冉希？如微积分屮函数的极限、连续、导数、微分、积分等概念可与复变量函数的相应概念作类比和比较，线性常微分方程(组)的基本理论可与线性代数方程组的基木理论作类比。例3:某班学生40人，求有2人的生日都是9月1日的概率P(A)(—年以365天计算)。分析：可以如此类比，365天好比365个球，即袋子里有1，2,…，364,365号球。两人或多人生日相同，比作有放回抽样时2次或多次抽到的球是同一个球。因此，基本事件总数为36540,可用古典概型求解或伯努利概型求解，P(A)=C2。总之，教师应根据类比教学内容，使学生体会类比内容的联系和本质差异，渗透类比思想，也有

7、利于学生进行合情推理。三、转化与化归的思想方法转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。一般在数与数、形与形、数与形之间进行转化与化归，也可以在题意间进行等价转化。如求事件A的概率，有时可转化为求A的逆事件的概率，离散型随机变量的超几何分布问题可以转化为二项分布来解决，概率很小时二项分布乂可以转化为泊松分布；连续型随机变量可转化为标准正态变量等。以上都用到了转化与划归的思想方法。在高等数学中，很多问题都要用转化和

8、化归思想方法去解决，它是发现问题、提出