数学系课程的理解

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1、浅谈数学系课程本文是作者阅读了李文林的《数学史概要》及参考其中的部分内容完成的，由于时间紧促，不能很完整的把李文林的《数学史概要》读完，其中难免有些部分可能有不到之处，数学是一个如此广阔而深刻的知识领域，由于本人的知识水平有限，可能有些部分对材料的取舍及论述的详略深浅等方面存在很大的问题，希望广大读者海涵。本文只是读者对自己的母校幵设的数学课程的一点理解与感悟，按幵课的时间分别有《数学分析》《解析几何》《高等代数》《概率论与数理统计》《常微分方程》《复变函数》《实变函数》《数学建模》《初等数学研宄》《初等数论》《近世代数》《数学软件》《泛函分析》《模糊数学》《运筹学》《拓扑学》等，可能与读

2、者所学的数学课程有所差异，在这里特此说明2013年4月于湖北荆州1几何的发展1.1欧几里得与《几何原本》欧几里得是希腊论证几何学派的集大成者。欧几里得早年就学于雅典。公元前300年左右托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。“原本”愿意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理，欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化，理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。1.2近代数学的兴起1.2.1代数学欧洲人在数学上的推进是从代数学幵始的，它是文艺复兴时期成果最突出，影响最深远的领域，拉开了近代数学的

3、序幕。主要包括三，四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。1.2.2解析几何的诞生近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展。对科学技术提出了全新的要求：机械的普遍使用引起了对机械运动的研宄；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确的研究天体运行的规律;武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等，总之，到了16世纪，对运动与变化的研宄己变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，并借助这种坐标平面上的点和有序实数对

4、之间的一一对应。借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊的阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研宄，都蕴涵着这种思想。解析几何最重要的先驱是法国数学家奥雷斯姆，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理，甚至已接触到函数的图像表示，在这里，他借用了“经度”，“纬度”，不过还未形成清晰的坐标与函数图像的概念解析几何的真正发明还要归功于法国另两位数学家笛卡尔与费马，他们工作出发点不同但殊途同归。笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是一个律师。他早年受教于拉幅累歌的耶稣会学校。1612年赴巴黎从事研宄，曾于1617和1619年两次

5、从军，离幵军营后，旅行于欧洲，他的学术研宄是在军旅和旅行中作出的。关于笛卡尔创立解析几何的灵感的传说，笛卡尔在一次“晨思”时，看见一只苍蝇在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述他的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何最初的闪念。与笛卡尔不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》的书，书中清楚的阐述了费马的解析几何原理，但他并没有说明他的解析几何思想是如何形成的。2分析数学2.1微积分2.1.1牛顿的“流数术”牛顿于出生于英格兰林肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生

6、后勉强存活，少年牛顿不是神童，成绩并不突出。于1661年入剑桥大学三一学院受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒和笛卡尔等著作，笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对其影响很深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微分之路。1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，《流数简论》标志着微积分的诞生2.1.2莱布尼兹的微积分与牛顿的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研宄，也称“微分三角形”，1684年莱布尼兹发表了《一种求极大与极小和求切线的新方法

7、》，这是数学史上第一次发表的微积分文献2.2微分的应用2.2.1常微分方程常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼兹的著作中都处理过与微分方程有关的问题，从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论及天体力学等实际问题引出了一系列常微分方程。有名的悬链线问题于1690年由雅各布.伯努利提出，第二年有莱布尼兹及惠更斯解决，数学家们起初用特殊技巧解决，但渐渐开始寻找通法，这样就慢慢形成了常微分这一套完整的理论2.2.2偏