文献综述羊羊

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1、HUBEIUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY毕业设计（论文）文献综述学生姓名：羊丽专业：数学与应用数学指导教师：张吉刚2014年3月2曰前g重积分是多元函数积分学屮重要A容，是进一步学习曲线积分与曲而积分的基础.本文通过对一些有代表性的习题与例题的分析研究，使读者加深对重积分的理解与掌握.重积分的计算方法是将重积分转化为累次积分.不少重积分题目不能直接进行积分，需要交换积分的次序才能计算.有些二重积分当被积函数带有绝对值时耑将区域划分为几个小区域，每个小区域内函数有确定的符号，此时再进行积分.有些三重积分，看起來很难直接运算求解可利用函数奇偶

2、性、轮换对称性，并运用广义球而坐标求解。随着科学技术的革新与发展，为满足其他学科的需要，国A外对重积分计算方法的研究已经取得较大的突破和成就，并对基础数学和应用数学发展进一步奠定的理论基础。主体一、二重积分是高等数学的重要组成部分，它的计算方法是教学的重点也是难点。二重积分是定积分的推广，是二元函数在平面的一个区域上的积分。利用二次积分计算是二重积分计算的基本方法。根据积分区域和被积函数的特点，可以选择直角坐标或极坐标两种不同形式，当积分区域d为圆形域、扇形域、环形域或环扇形区域，尤其被积函数形如时一般用极坐标计算，其它情形先考虑用直角坐标计算。计算二重积分的一般步骤如下

3、：(1)画出积分区域D的草图；(2)求交点；(3)选择直角坐标系下计算，或者极坐标系下计算；(4)选择积分次序(直角坐标系：投影穿线法)；(5)化二重积分为二次积分；(6)计算。在直角坐标系下计算二重积分，提出投影穿线法：若积分区域D(如图1)可表示为DX:aSxSb，(p}(%)，=灼(X)是直线穿!liD的位置，［仍04妁即为y的变化范围。1、利用儿何意义计算二重积分在用一般计算方法(累次积分法)计算之前，提出先

4、利用二重积分的几何意义：曲顶柱体体积的代数和及区域D的面积0■二及二重积分的对称性（奇零偶倍，轮D换对称），计©吋兼顾积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，可以将所求问题大大简化。二重积分计算的关键是将其转化为累次积分，其中W难的是累次积分上下限的确定，总结概括在直角坐标系下如何将二重积分转化为累次积分。为了表示的方便，用D表示积分区域，将D的类型分为两大类：X型和Y型。具体有利用直角坐标、极坐标计算二重积分、用变璧变换法求二重积分另一种化二重积分为定积分的方法等。在二重积分一般计算方法的基础上，着重讨论如何利用几何意义、对称性、交换积分次序来简化二重积分的计算。这对于数学

5、理论的研宄及二重积分的运算都有重要意义。二、在通常情况下，重积分的计算是通过累次积分进行的，把重积分化为累次积分的过程中，确定各次积分限是关键的一步，对于二重积分，用平而作阁的方法简单地确定出各次积分的积分限，对于三重积分，需作一个空间图形，再通过该空间图形来确定出各次积分的积分限，然而此办法对于积分区域比较简单的三重积分的定限比较方便，对于较复杂的积分区域来说计算三重积分转化为三次积分时确定积分限的两种方法：在柱面坐标下积分限的确定、代数定限法。而在直角坐称系T计算较繁时可考虑换元。把三重积分化成低重积分而完成计算的技能技巧，还应注意下而儿个问题：1）坐标系的选择.包括

6、了解各种坐标系下的积分公式主要特点，给定积分区域与被积函数时选用何种坐标系更为简便.对于平面围成的积分区域，不宜使用拄囬或球妞坐标系.在柱面坐标系下.当积分区域与绕z轴旋转形成的旋转体有关时，关于变量沒的积分可能有较简单的积分限；当积分区域有平行于XV而的边界而时，关于变量的积分可能的较简单的积限.而在球坐标系下，当积分区域与球有关时，关于三个变量的积分都可能有较简单的积分限，选择积分区域还要注意被积函数的特点。2）积分方式的选择.应了解化成三次积分与化成一次积分及一个二重积分的公式的主要特点，以及给定积分区域与被积函数下使用何种公式合适。3）积分次序的选择.了解改换积分

7、次序的方法，明确由于积分次序的不同.影响积分计算与繁简程度的可能性。4）积分区域.对于用方程或不等式给岀的积分区域，可画出示意图；对于用图形给出的积分区域，能求出其边界方程.还可求出积分区域在某一坐标平面的投影区域及这个投影区域的边界线方程；能求出积分区域平行于某个坐标面的截面；能求出积分区域经坐标变换后的新区域的边界曲而的方程。总结计算二重积分的基本思路是能积、易积的积分计算思想。为此必须注意：能否快算，用何坐标、是否分域、如何定限。计算二重积分的主要方法有：利用对称性、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分