扩展有限元法在重力坝断裂分析中的应用研究.doc

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1、扩展有限元法在重力坝断裂分析中的应用研究董玉文，任青文，余天堂（河海大学土木工程学院，江苏南京，210098）摘要：扩展有限元法（XFEM）是近年来发展起来的分析不连续问题（特别是断裂问题）的一种有效方法，该方法基于单位分解法的基本思想，通过在近似位移表达式中增加能够反映裂纹面的不连续函数及反映裂尖局部特性的裂尖渐近位移场函数，间接体现裂纹面的存在，同时反应了不连续面的局部特性，克服了常规有限元要求裂纹面与有限元网格一致、在裂缝周围布置高密度网格的缺点。介绍了扩展有限元法的基本原理，给出了裂纹扩展分析的方法，最后采用扩展有限元法模拟了混凝土重力坝坝踵裂缝扩展

2、及变形、应力场分布规律，展示了扩展有限元法在断裂力学数值模拟中的独特优势。关键词：扩展有限元，重力坝，断裂，裂缝扩展1前言近几十年来,混凝土大坝安全已成为各国坝工界十分关注的一个研究课题。由于混凝土材料的弱拉性和混凝土坝的大体积特性，施工中产生微裂缝不可避免。初始微裂缝的存在降低了大坝的安全度，随着坝龄的增长，这些裂缝可能进一步发展，最终造成严重的断裂事故。因此，大坝安全评价的首要问题是确定已有裂缝是否会扩展，预测在各种可能条件下的扩展路径以及危险程度，以便在它们进一步扩展前采取控制措施[1]。但是，目前对起裂、扩展后的裂纹路径研究并不充分。有限元法是最常用

3、的断裂分析的数值方法,但由于裂纹不连续位移场的特殊性及裂尖端应力、应变场的奇异性问题,使得对有限元网格的划分有特殊要求,如宏观裂纹表面要保证与单元边界一致,并依靠有限单元边界来勾画其位置和形状;为描述裂尖应力奇异区,甚至需要在裂尖区域细化单元或改用特殊形式的缝端奇异元;随着裂缝扩展,有限元网格需要不断地调整和重新划分,产生极大的前处理工作量,不利于工程使用,尤其像大型水工建筑物中的宏观裂纹断裂分析。近年来，涌现出了许多新的适合于不连续分析、特别是断裂分析的数值方法，如数值流形方法、广义有限元法、无单元法、扩展有限元法（XFEM）等。其中扩展有限元法是以美国西

4、北大学Belytschko教授为代表的研究组1999年首先提出来的[2,3]，是求解不连续力学问题最有效的一种数值方法。由于扩展有限元在分析断裂问题时具有众多优点，克服了常规有限元法要求裂纹面与单元边界一致、裂纹扩展以后需要重新划分网格的缺点，受到了国内外学者的青睐，在短短几年里得到了诸多应用[4-7]。本文介绍了扩展有限元法的基本原理和数值实现方图1XFEM附加函数节点选取法，并应用扩展有限元法分析了含裂纹重力坝的位移和应力分布，模拟了裂纹的扩展过程，结果表明扩展有限元在分析坝体开裂问题时具有独特的优势和很好的应用前景。2扩展有限元法的基本原理2.1扩展有

5、限元法位移模式的构造常规有限元法所表达的位移函数近似解为图2裂尖局部坐标系（1）其中，为节点的插值形函数，为节点的自由度向量。对于域内任意一点，插值形函数应该满足。Duarte和Oden发现基于插值形函数的单位分解性质,可在常规有限元表达式中增加广义节点自由度和相应的附加插值函数作为手段添加额外的插值场，以提高数值描述精度。基于单位分解思想，Belytschko等提出了适合于描述含裂纹面的近似位移插值函数，对于弹性问题，典型的表达式为（2）其中，其中，为网格中所有离散节点的集合，是被裂纹穿过、但不包含裂尖的单元节点集合（图1中小方框表示的节点），表示含裂尖的

6、单元节点集合（图1中小圆圈表示的节点）,为Heaviside函数，在裂纹面上下侧分别取+1和-1，以反映位移不连续情况，即（3）通过线弹性断裂力学中裂尖渐进位移场提取出，建立以裂尖为坐标原点的极坐标系（图2），则由该解析函数中的主要项的基函数组成：（4）2.2有限元控制方程的建立对于如图3所示的边值问题，与常规有限元一样，将有限元近似位移表达式（2）代入虚功方程，就可以得到XFEM控制方程：（5）图3给定边界条件的裂纹体其中，为单元节点位移列向量，对于常规节点为，对于函数加强的节点（图1中圆圈表示的节点），，对于Heaviside函数加强的节点（图1中方框表

7、示的节点），。K为单元刚度矩阵，由单元刚度矩阵组装而成：（6）为单元节点力列向量:（7）式（6）、（7）中出现的子矩阵和外力矢量分量表示如下：(8a)(8b)(8c)(8d)式（8）中为弹性本够矩阵，为体力，为面力，为形函数的变分矩阵，分别为：(9)(10)2.3数值积分方法由于在形函数的变分矩阵中含有不连续函数和，对被裂纹分割的单元，如果直接采用高斯积分，计算的结果是不准确的。因此必需对积分方法进行修改[3,7]。将含有裂纹的单元进一步细分成三角形单元，使裂纹面位于单元的边上（如图4），然后分区进行积分。由三角形单元的积分点局部坐标得到整体坐标：，再由整体

8、坐标逆推出该积分点在四边形单元内对应的局部坐标，然后