伪超弹性气球的变形.doc

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1、伪超弹性气球的变形任九生陈锋（上海大学力学系，上海市上大路99号，200444）摘要本文在有限变形伪弹性理论的框架下研究了球形薄壁橡胶气球的膨胀与收缩过程的变形问题。文中借助Dorfmann和Ogden提出的带有损伤变量和残余应变变量的伪超弹性应变能函数来描述橡胶材料的本构关系，由弹性薄膜理论得到气球在加载和卸载过程中的变形曲线，讨论了气球变形过程反映出来的材料不稳定性问题和Mullins效应、残余应变等。通过能量比较讨论了解的稳定性，分析了材料变形的不稳定性问题。讨论了气球变形中存在明显的Mullins效应和卸载后的残余应变。

2、关键词：橡胶气球，伪超弹性，Mullins效应，残余变形、不稳定性一引言近几年来橡胶和聚合物等类橡胶材料在工程领域的应用越来越广泛，由于在材料破坏中扮演者重要角色，所以诸如超弹性材料的稳定性问题等此类材料的非线性问题受到越来越多的关注[1~3]。问题的多解性属于一类重要的材料不稳定性问题，橡胶气球的膨胀就是一个典型的例子[4~5]。当一个橡胶气球发生膨胀时，开始它保持球形，直到压力达到某一极大值。在此之后，随着气球体积的膨胀，压力反而下降；同时，球体的某些部位只受到轻微拉伸而其他部位却受到强烈的拉伸，即气球明显偏离球形。对于一个

3、相同的压力，存在对应于不同的膨胀变形的多个解，就遇到了材料的不稳定性问题。在气球的卸载过程中，气球的卸载曲线有明显的滞后且完全卸载后存在一定量的残余应变[2]，橡胶材料属于超弹性材料，其应力应变关系由超弹性应变能函数描述，但超弹性理论无法解释此类非弹性现象，这种现象的产生是因为类橡胶材料的Mllins效应，即材料的内部损伤导致的应力软化效应[6]。要描述这些效应需引入由冯元祯提出的伪弹性应变能函数，Ogden[6]用伪超弹性的理论模拟了这种效应，可以通过在材料的应变能函数中加入一些不连续的内因或损伤变量来实现。损伤变量在变形过程

4、中可以是起作用的也可以是不起作用的，这样材料在加载过程满足一种应力应变关系而在卸载过程却满足另一种应力应变关系，由此可以解释类橡胶材料的滞后现象或Mllins效应，并可分析卸载后的残余应变。本文的目的是进一步研究伪超弹性薄壁橡胶气球的膨胀和收缩过程中的不稳定性问题。本文借助Dorfmann和Ogden[7]提出的带有损伤变量和残余应变变量的伪超弹性应变能函数来描述橡胶材料的本构关系，把气球理想化为一个弹性薄膜，应用简单的能量法得到了薄膜理论中气球膨胀及收缩过程中变形与压力关系的一般表达式，并得到了气球在加载和卸载过程中的变形曲线

5、，由此分析了气球在加载和卸载过程中反映出来的材料不稳定性问题和Mullins效应、残余应变等。通过能量比较讨论了膨胀和收缩曲线所对应的解的稳定性问题，从而分析了材料变形的不稳定性问题。详细描述了变形过程中材料的响应，讨论了变形中的Mullins效应和卸载后的残余应变与材料在加载过程中产生的材料损伤的关系。二基本公式把气球视为一个变形前半径为，厚度为，且在初始时刻无应力的各向同性的球形薄膜。假定气球在膨胀压力作用下在时刻成为半径，厚度为的气球，并分别用球坐系和描述变形前和变形后的气球。气球的变形模式函数为(1)这里，是一个待定函数

6、。相应的变形梯度张量为(2)变形主伸长为(3)考虑到材料的不可压缩性，令,则有。采用Dorfmann和Ogden[7]给出的能够模拟类橡胶材料有残余应变的理想化的Mullins效应的伪超弹性应变能函数(4)式中,是通常的应变能函数，本文取为Ogden材料[7](5)其中，。函数(6)其中，为与加载过程中主伸长的最大值有关的材料参数。是只取决于损伤变量的损伤函数(7)其中，材料参数，。损伤变量在卸载过程中起作用，由下式决定(8)是只取决于残余应变变量的残余应变函数，满足（9）残余应变变量由下式决定(10)其中指数函数(11)初次加

7、载时，且要求,可从伪超弹性应变能函数（4）退化得出通常的应变能函数（5）。三气球的膨胀根据能量守恒定理[2]，物体任何一部分的总能量变化率与总功率平衡，有(12)对微分，有(13)这是从无初应力的初始状态开始变形的各向同性超弹性薄壁气球的膨胀压力的一般表达式。在的情况下，把（4）代入上式，有(14)式(14)的数值结果，即气球的膨胀曲线如图1实线所示，由图可见，存在一个膨胀压力的极大值，当压力小于这个极大值时，随着变形的增加，压力迅速地增加；但当压力大于这个极大值时，随着变形的增加，压力反而减小；最后，当压力大于压力的极小值时，

8、随着变形的增加，压力又持续地增加。对于一个确定的压力，存在对应于不同的膨胀变形的多个解，这就碰到了解的不稳定性问题，为了比较解的稳定形就必须比较气球的总势能。无初应力的气球变形的总势能为(15)Figure图1：气球的变形曲线图2：气球变形的能量曲线Fig.1D