定比分点公式的推导和应用教案

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1、定比分点公式的推导和应用教案　　教学目的　　使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．　　教学过程　一、启发学生提出问题　　　(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨的问题——“求线段的定比分点”．)　　师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三分点．如图1，　　　　以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？　　　　　　师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能用一个更一般的问题来概括它们呢？　　[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识事物的重要的思维方

2、法．]　　要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：　　　　　　　　现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有哪些是相同的，　　　　　　这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方法．先取定　　　　(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)　　由图4(1)～(5)可知：　　　　　　　　　　________之间，且

3、BC

4、越大，λ________，点P越近________．　　[继续让学生分析图5(1)～(5)，进行讨论．]　　　　　　线段______

5、__，且

6、BC

7、越小，λ越________．P点越接近________．　　　　线段________，且

8、BC

9、越大，λ越________，P点越接近________．　　　　师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对每一个定比λ　　　　　　　二、引导学生解决问题　　　让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意结合学生自己的思路来指导．　　一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指出不足，并启　　　　的解法是否适用？　　　　于给我

10、们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应的“几何元素”之　　　　当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这是一种有用的思考　　　　　　同样可得出结论．　　有些学生列出公式　　　　时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标x、y是不可能的．于　　　　　　得到，于是有式子：　　　　解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．　　最后教师归纳得出定比分点的公式：　　　　时，点P的坐标是　　　三、培养学生编制问题　　　导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加深对定比分点公式的认识，

11、并培养他们运用数学知识解决问题的能力．　　(1)先提出一些可以用公式　　来解的问题．　　　　　　　　　　是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四个不独立的量，那么或者点　　　　立量的问题，不能只看形式，要看实质．　　[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]　四、布置作业　　　针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有些学生可以做　　　　段AB的一个定比分点？如果是的话，P在AB上还是在它的延长线上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．

12、　　自我评述　　(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问题是同样重要的．　　这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比分点公式的形式，就可较多地放手让学　　这里λ可取任意实数，而且0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1时，P为外分点，　　　　在目前情况下，我认为培

13、养学生发现问题与提出问题的能力，可以采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．　　(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是如何“想到”的．凡是学生自

14、己能够得出的要让他们自己去解．同时让学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识的抽象性与应用的广泛性的特点的，