[研究生入学考试]概率论§

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1、§1.3条件概率与独立性一、条件概率例一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.AB2.性质二、乘法公式乘法公式：例盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则三、全概率公式与贝叶斯公式前面我们讨论了直接利用概率可加性及乘法公式计算一些简单事件的概率，但是对

2、于复杂事件的概率经常要把它分解为一些互不相容的较简单事件的和，再利用概率的可加性及乘法公式，得到所需要的概率，这就是全概率公式定理1（全概率公式）：说明全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.例1有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙

3、袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙解:例1有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?现在取到一件产品是次品,问此次品是一厂生产的概率?１．０.０４６，２．０.０３９，３．０.１５Bayes公式定理2（贝叶斯公式）：解例3由贝叶斯公式得所求概率为即平均100

4、0个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.解例4由贝叶斯公式得所求概率为四、事件的独立性定义3：注意：定义4：定义5：定义6：定义7：例4对同一目标进行三次射击，其中命中率依次为0.4，0.5，0.7.试求下列事件的概率：(1)3次中恰有一次命中；(2)3次中至少1次命中。则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.若n次重复试验具有下列特点：四.n重贝努利(Bernoulli)试验1)每次试验的可能结果只有两个A或2)各次试验的结果相互独立，(在各次试验中p是常数，保持不变）实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观

5、察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.一般地，对于贝努里概型，有如下公式：定理如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p(0